Abstract classes vs. interfaces

Usar interfaces cuando se esperan cambios frecuentes en el código. Interfaces es un método más flexible que herencia para manejar opciones de comportamiento. Una clase abstracta funciona de manera similar pero además permite definir comportamientos comunes, forzando a las subclases a definir los comportamientos especializados. Una clase abstracta se parece a una interface en que ambos son una especie de contrato de como se debe comportar la clase en el mundo exterior. Resumiendo; interfaces permite a una clase tener varios padres, pero una interface no implementa ningún método, solo especifica que métodos se deben implementar.

Una clase abstracta no se puede instanciar pero puede implementar algunos métodos ( o todos). Interfaces hacen oficial la separación entre implementación y la firma de una clase, mientras que una clase abstracta permite definir comportamiento común, pero por lo mismo es más fácil romper el código en cascada al hacer un cambio. La siguiente tabla compara interfaces y clases abstractas en C#

Interface Abstract class
Una clase puede heredar múltiples interfaces. Una clase solo puede heredar de una clase abstracta.
sin implementación por defecto. Implementación por defecto.
Solo Static final constants. Constantes pueden ser estáticas y de instancia.
La interface define las características periféricas de una clase. Una clase abstracta define el comportamiento interno de una clase.
Si las implementaciones solo se parecen en la firma, entonces es mejor usar interfaces. Si las varias implementaciones usan comportamientos comunes, es mejor usar una clase abstracta.
Ejecución Lenta. Ejecución rápida.
Es necesario revisar todas las implementaciones para  agregar funcionalidad. Se puede agregar el nuevo método a la clase abstracta y todas las implementaciones lo incorporan.

C# Interface Based Development

limited unlimited

AT&T Inc. is effectively ending unlimited data plans, saying that it will no longer let customers use more than a set amount of data per month without penalty.
Under a new policy, AT&T will slow download speeds for unlimited 3G and 4G smartphone customers who exceed three gigabytes and 4G LTE users who exceed five gigabytes of data in a given month. AT&T had previously been slowing speeds, or throttling, customers who were in the top 5% of data users in their respective market.

AT&T has been trying to manage capacity on its network in the face of heavy data consumption by Apple Inc. iPhone users and a limited supply of wireless airwaves, or spectrum. The carrier is spending billions to build out a new fourth-generation mobile-broadband network that can handle more data traffic.
A spokesman, Mark Siegel, said the new guidelines were necessary because of confusion among unlimited customers over when their download speeds would be slowed. He declined to say by how much the speeds would be decreased.
Now, AT&T says customers will get a text message when their usage approaches 3GB in one billing cycle. AT&T will slow customers’ data speeds for the rest of that billing cycle.
After that, speeds go back to normal if customers stay under the limit. But if they exceed the limit again, customers’ speeds get slowed without receiving another text-message reminder.
In 2010, AT&T was the first carrier to introduce so-called tiered pricing plans which capped customers’ data use. It allowed existing customers to keep their unlimited data plans indefinitely. About 56% of AT&T’s smartphone customers are on the tiered plans, the carrier said Wednesday.
The Dallas-based carrier in January boosted the prices of the tiered plans by as much as 33% while increasing the amount of data allowed per month.
AT&T and other carriers have been pushing Congress and the Federal Communications Commission to release more licenses for wireless airwaves to help stave off a capacity crunch as more customers download video, music and photos to their smartphones.
The data caps aren’t the only moves the Dallas-based telecommunications giant is taking to manage its network. In recent weeks, the carrier has begun sending out notices to some customers still using cellphones on its older 2G cellular network to swap out their devices for newer ones that can run on 3G networks.
“Your current, older-model 2G phone might not be able to make or receive calls and you may experience degradation of your wireless service in certain areas,” AT&T cautioned in the letter. Mr. Siegel said the carrier hoped to use some of the 2G spectrum for new technologies, though it would still offer 2G services to those who want them.
“We’re simply urging them to upgrade to a new device if they want to,” Mr. Siegel said.
Mr. Siegel said the carrier sent the notices to customers in the New York metropolitan area and may send them to other customers. He noted the program was voluntary and affected a small number of subscribers and most 2G phones would continue to work.
AT&T is offering the users one of four free phones, such as the Samsung Electronics Co. Evergreen or the LG Electronics Inc. GU295.

Jane Foody’s iPhone is practically her personal assistant. 
The 27-year-old physical therapist and yoga instructor from Yonkers, NY, uses her iPhone for everything, from scheduling appointments, to streaming music during lessons, to showing her clients how to properly strike a downward dog pose.
But last month, AT&T threatened to shut down Jane’s personal assistant. AT&T sent Jane a text message saying that she was using too much data on her unlimited data plan, and that they could block her access to high-speed data. Jane says her iPhone would be useless for anything but making phone calls and sending text messages, and she’s not happy about it.
Jane started a petition on Change.org calling on AT&T to stop slowing down data and respect the unlimited data plans paid for by customers. AT&T is digging in its heels after 10,000 people already signed Jane’s petition. The company responded to the campaign by saying customers with unlimited plans can only access three gigabytes of data per month — meaning unlimited plans no longer exist!
Jane isn’t the only AT&T customer being accused of using “too much” data on unlimited plans. A huge article from the Associated Press revealed just weeks ago that AT&T is similarly targeting the top 5% of its “unlimited” data customers, or nearly 850,000 people. 
Jane says she tried to file a complaint with AT&T about being unable to use her unlimited data, but the only responses she says she got were from sales representatives pushing her to pay more money to be able to use as much data as she wants. “I told them, ‘I shouldn’t need to do that since I have unlimited data,'” Jane said.
Cell phone companies have listened to customer outrage before: in December, more than 166,000 Change.org members successfully pushed Verizon to cancel a new fee to pay bills online. Jane hopes that if enough people speak out to AT&T, the cell phone company will also buckle and listen to their customers.
Thanks for being a change-maker,
– Jon, William, Jess, Tim, Michael, and the Change.org team

.NET Compact Framework 2.0

OpenNETCF.org es un repositorio de información y código fuente sobre Microsoft .NET Compact Framework. OpenNETCF.org empezó como un proyecto de código abierto para extender la funcionalidad de .Net 1.x. A partir del Smart Device Framework 2.0 el código fuente dejo de ser libre.

En el mismo sito de Microsoft hay referencias a ejemplos de aplicaciones móviles que usan las extensiones de OpenNETCF.

El articulo Building a Wi-Fi Discovery Application with the .NET Compact Framework 2.0 explica a detalle una aplicación que usa estas librerías e incluye código fuente. Es un buen ejemplo para empezar a ver el ciclo complete de una aplicación móvil no trivial.

La solución de muestra incluye dos proyectos. La aplicación en si, y el código fuente OpenNETCF referenciado en la misma. Al construir la solución en Visual Studio 2005 se marcan warnings pero los proyectos se construyen con éxito. Se puede probar la aplicación en una Pocket PC 2003. Si la tarjetea de WiFi esta desactivada la aplicación genera una excepción. No es una aplicación de grado comercial pero es una buena referencia de lo que se puede hacer.

El articulo Deploying .NET Compact Framework 2.0 Applications with .cab and .msi Files continua con este ejemplo y explica como hacer un proyecto de instalación.

En un proyecto para aplicaciones inteligentes, cada archivo se marca con una acción de generación que se define en la ventana Propiedades del modo siguiente:

  • Un archivo marcado como Compile, valor predeterminado para todos los archivos y formularios de código, compilará los archivos en el ensamblado resultante.
  • Un archivo marcado como Content permite el empaquetado del archivo en el archivo .cab y su implementación en el proyecto. Asimismo, resulta útil para la implementación de archivos de configuración XML y bases de datos SQL Server CE.
  • Un archivo marcado como None simplemente se ignora. Esta acción resulta útil para incluir documentación en el proyecto, como diagramas de Visio que no se deben implementar.
  • Un archivo marcado como Embedded Resource se incluye en el ensamblado ejecutable como un recurso. Esta acción permite que el código escrito extraiga el recurso mediante programación. Asimismo, resulta eficaz para empaquetar imágenes y archivos de secuencias de comandos que se pueden utilizar posteriormente en la aplicación.

Antes de pasar a construir la aplicación para dispositivos inteligentes y crear los archivos .cab para la implementación, no se debe olvidar cambiar el modo de generación del proyecto de depuración a liberación. Esto reducirá el tamaño del ejecutable en el dispositivo (hecho importante en el caso de los dispositivos inteligentes de almacenamiento restringido) y aumentará la velocidad de ejecución.

Para hacer un proyecto de instalación automatica es necesario efectuar los siguientes pasos:

1. Crear archivos .cab para cada dispositivo donde va a correr la aplicación. Un .cab de instalación puede contener un archivo setup.dll con código no administrado, y por eso se requiere un .cab diferente para cada familia de procesadores. Si la aplicación no requiere de este archivo, entonces un solo .cab es suficiente.

2. Agregar los archivos y entradas de registro de la aplicación a los .cab

3. Proveer el código de acciones especiales a ejecutar durante la instalación y desinstalación de la aplicación.

4. Registrar la aplicación con ActiveSync para que se pueda instalar de la PC de escritorio a la Pocket PC.

5. Empacar todo en un archivo .msi

El primer paso es agregar un proyecto
Other Project types->Setup and deployment->Smart Device Cab Project
a la solución.

Al construir el proyecto se generan 3 archivos un .cab, un .log, y un .inf. El archivo .inf tiene parámetros de instalación que serán usados por ActiveSync.

El .cab es suficiente para instalar una aplicación en la Pocket PC pero es posible agregar un proyecto de instalación de escritorio para simplificar el proceso para el usuario.

Para aplicaciones móviles, hay dos cosas que el instalador debe hacer. Debe presentarle al usuario las pantallas del asistente de instalación en la PC de escritorio y debe instalar la aplicación en la Pocket PC.

La instalación en el Pocket PC se hace a través una aplicación llamada CeAppMgr.exe que es parte de ActiveSync. CeAppMgr.exe requires un archivo .ini que se debe agregar manualmente. En nuestro caso el .ini contiene lo siguiente:

Version = 1.0
Component = OpenNETCF WiFiDiscovery

[OpenNETCF WiFiDiscovery]
Description = Sample WiFi Network Discovery Application using the SDF
CabFiles = WiFiDiscovery.cab

Para activar el modo de depuración de CeAppMgr.exe es necesario meterle mano al Registry. Para los valientes

[HKLMSoftwareMicrosoftWindows CE ServicesAppMgr]

Existen algunos requerimientos que, aunque no son estrictamente necesarios técnicamente, son prácticas establecidas y necesarias para certificación.

Aplicaciones registradas con CeAppMgr deben estar en un subfolder de ActiveSync por ejemplo. Estos requerimientos los maneja el instalador utilizando variables predefinidas de Windows para mayor flexibilidad y para facilitar localización del software en varios idiomas. Para ejecutar estas acciones se agrega una clase de instalación.

Agregamos un proyecto de librerí­a de Windows a la solución de Visual Studio. A este proyecto le agregamos la installer class. Esta clase soporta eventos relacionados con el proceso de instalación y permite definir acciones previas y posteriores al proceso de instalación y al de desinstalación. Por ejemplo,

public CustomInstaller()
this.BeforeInstall +=
new InstallEventHandler(CustomInstaller_BeforeInstall);
this.AfterInstall +=
new InstallEventHandler(CustomInstaller_AfterInstall);
this.BeforeUninstall +=
new InstallEventHandler(CustomInstaller_BeforeUninstall);

Es necesario definir constantes para usar dentro del código en términos de entradas en el Registry, bajo la llave HKLM.

De esta manera el código sigue siendo valido bajo distintos idiomas y versiones de Windows.

private const string CEAPPMGR_PATH =
@”SOFTWAREMicrosoftWindowsCurrentVersionApp PathsCEAPPMGR.EXE”;
private const string ACTIVESYNC_INSTALL_PATH =
@”SOFTWAREMicrosoftWindows CE Services”;
private const string INSTALLED_DIR = “InstalledDir”;
private const string CEAPPMGR_EXE_FILE = @”CEAPPMGR.EXE”;
private const string CEAPPMGR_INI_FILE = @”WiFiDiscovery.ini”;
private const string APP_SUBDIR = @”OpenNETCF WiFiDiscovery”;
private string TEMP_PATH =
Environment.SystemDirectory + @”TEMPWiFiDiscovery”;

El ultimo paso es crear el proyecto de instalación.

Other project types ->Setup and deployment->Setup project

Despues de crear el proyecto, realizamos las siguientes acciones:

1. Cambiar el nombre del archivo de salida.

2. Indicar la ubicación de un directorio para guardar archivos temporales. Este direcorio debe estar ubicado de acuerdo a lo que definimos en la clase de instalación.

3. Definir las propiedades del proyecto como compañí­a, nombre de aplicación, etc.

4. Agregar los archivos de salida del proyecto CAB

5. Agregar en la carpeta de aplicación la salida de la clase de instalación

6. Agregar Custom Action usando la clase de instalación

7. Agregar archivo .ini

8. Construir todos los proyectos en la solución

9. Probar el instalador

Para mayor detalle se pueden consultar los articulos originales en el sitio de Microsoft.

El articulo Developing and Deploying Pocket PC Setup Applications aunque obsoleto tiene información complementaria y discute el caso .Net 1.x

Antes de poder ejecutar la aplicación, es preciso instalar .NET Compact Framework en el dispositivo. Si la aplicación requiere SQL Server CE, también será necesario instalar el archivo .cab adecuado. Aunque ambos se instalan automáticamente al implementar la aplicación desde Visual Studio .NET mediante el menú Implementar o al depurar el dispositivo, en producción será necesario emplear un mecanismo diferente.

Como se mencionó anteriormente, los archivos .cab creados para un proyecto no incluyen los archivos .cab correspondientes a .NET Compact Framework o SQL Server CE. Aunque Pocket PC 2003, y dispositivos posteriores, suelen incluir .NET Compact Framework en ROM, será preciso agregar los archivos .cab específicos de la plataforma en cuestión en el caso en que dichos dispositivos no los incluyan. Un modo sencillo de llevar a cabo esta operación para .NET Compact Framework es descargar y ejecutar el redistribuible.


Patrones de implementación para Microsoft .NET Compact Framework

.NET Compact Framework 2.0

OpenNETCF.org es un repositorio de información y código fuente sobre Microsoft .NET Compact Framework. OpenNETCF.org empezó como un proyecto de código abierto para extender la funcionalidad de .Net 1.x. A partir del Smart Device Framework 2.0 el c

OpenNETCF.org es un repositorio de información y código fuente sobre Microsoft .NET Compact Framework. OpenNETCF.org empezó como un proyecto de código abierto para extender la funcionalidad de .Net 1.x. A partir del Smart Device Framework 2.0 el código fuente dejo de ser libre.

En el mismo sito de Microsoft hay referencias a ejemplos de aplicaciones móviles que usan las extensiones de OpenNETCF.

Google Privacy Policy

We’re getting rid of over 60 different privacy policies across Google and replacing them with one that’s a lot shorter and easier to read. Our new policy covers multiple products and features, reflecting our desire to create one beautifully simple and intuitive experience across Google.
We believe this stuff matters, so please take a few minutes to read our updated Privacy Policy and Terms of Service at http://www.google.com/policies. These changes will take effect on March 1, 2012. 

Got questions?
We’ve got answers.
Visit our FAQ at http://www.google.com/policies/faq to read more about the changes. (We figured our users might have a question or twenty-two.)

How do I change the name of a label in blogger?

How do I change the name of a label?

Let’s say you have a number of posts with the label Label-1 but you’ve decided that you’d rather call it Label-2 instead. You can’t edit the name of a label directly, but there’s a simple workaround to accomplish your goal:

Go to the Posting | Edit Posts tab for your blog.
Click Label-1 in the label list.
Click Select All to select every post with this label.
From the Label Actions… menu, choose Apply label > New Label…
Enter Label-2 as your new label. (If you already have some posts with this label, you can simply add that label, without creating a new one.)
Now all the selected posts should have both labels. From the Label Actions… menu again, select Remove label > Label-1, and you’ve completed the switch.

Note: If you have a large number of posts with this label, they may not all appear on one page. You can show more posts at once using the Posts Per Page menu. If you still can’t show them all at once, then simply repeat the steps above until you’ve changed the labels on all the posts you wanted to affect

employers asking for Facebook passwords

SEATTLE (AP) — Two U.S. senators are asking Attorney General Eric Holder to investigate whether employers asking for Facebook passwords during job interviews are violating federal law, their offices announced Sunday.

Troubled by reports of the practice, Democratic Sens. Chuck Schumer of New York and Richard Blumenthal of Connecticut said they are calling on the Department of Justice and the U.S. Equal Employment Opportunity Commission to launch investigations. The senators are sending letters to the heads of the agencies.

The Associated Press reported last week that some private and public agencies around the country are asking job seekers for their social media credentials. The practice has alarmed privacy advocates, but the legality of it remains murky.

On Friday, Facebook warned employers not to ask job applicants for their passwords to the site so they can poke around on their profiles. The company threatened legal action against applications that violate its long-standing policy against sharing passwords.

A Facebook executive cautioned that if an employer discovers that a job applicant is a member of a protected group, the employer may be vulnerable to claims of discrimination if it doesn’t hire that person.

Personal information such as gender, race, religion and age are often displayed on a Facebook profile — all details that are protected by federal employment law.

“We don’t think employers should be asking prospective employees to provide their passwords because we don’t think it’s the right thing to do. While we do not have any immediate plans to take legal action against any specific employers, we look forward to engaging with policy makers and other stakeholders, to help better safeguard the privacy of our users,” Facebook said in a statement.

Not sharing passwords is a basic tenet of online conduct. Aside from the privacy concerns, Facebook considers the practice a security risk.

“In an age where more and more of our personal information — and our private social interactions — are online, it is vital that all individuals be allowed to determine for themselves what personal information they want to make public and protect personal information from their would-be employers. This is especially important during the job-seeking process, when all the power is on one side of the fence,” Schumer said in a statement.

Specifically, the senators want to know if this practice violates the Stored Communications Act or the Computer Fraud and Abuse Act. Those two acts, respectively, prohibit intentional access to electronic information without authorization and intentional access to a computer without authorization to obtain information.

The senators also want to know whether two court cases relating to supervisors asking current employees for social media credentials could be applied to job applicants.

“I think it’s going to take some years for courts to decide whether Americans in the digital age have the same privacy rights” as previous generations, American Civil Liberties Union attorney Catherine Crump said in a previous interview with the AP.

The senators also said they are drafting a bill to fill in any gaps that current laws don’t cover.

Maryland and Illinois are considering bills that would bar public agencies for asking for this information.

In California, Democratic Sen. Leland Yee introduced a bill that would prohibit employers from asking current employees or job applicants for their social media user names or passwords. That state measure also would bar employers from requiring access to employees’ and applicants’ social media content, to prevent employers from requiring logins or printouts of that content for their review.

In Massachusetts, state Democratic Rep. Cheryl Coakly-Rivera also filed a similar bill Friday that also expands to include personal email. Her measure also bars employers from “friending” a job applicant to view protected Facebook profiles or using similar methods for other protected social media websites.


Manuel Valdes can be reached at https://twitter.com/ByManuelValdes.

The single-atom transistor

Shrinking transistors has been an obsession in the semiconductor world, but researchers Purdue University and the universities of New South Wales and Melbourne in Australia appear to have finally hit the limit of shrinkage. They’ve created a single-atom transistor that is just 0.1nm in width.

This comes on the heels of a development three months ago when the same research team developed a phosphorus and silicon wire that was one atom tall by four atoms wide, which they said behaves like copper wire.

The big challenge now is to control the electrons. At this size, quantum effects become the overriding issue. But the flip side is researchers are targeting this approach for quantum computing, where ones and zeroes are relative rather than fixed.

Custom Electrons

Designer molecules have revolutionized everything from medicine to modern warfare, but as atoms become observable they pass out of the realm of theoretical physics. That has led to the next step—designer electrons.
At the SLAC National Accelerator Laboratory, jointly run by Stanford University and the U.S. Department of Energy, scientists are now tuning electrons to behave in different ways. Working with graphene—sheets of carbon atoms—teams were able to change the symmetry of the electron flow, making them act as if they had been exposed to a magnetic field even though there was no magnetism involved.

What ultimately can be achieved with electrons is unknown. This is new research that most people never even considered five years ago. But the fact that it’s under way marks a significant shift in what ultimately could have a big impact on future semiconductors.
–Ed Sperling

Aritmética mexica

México a través de los siglos. Volumen I


Escritura jeroglífica. — Diversas clases de jeroglíficos. — Jeroglíficos primitivos de los nahoas. — Aritmética. — Sistema decimal hindú.— Su origen. — Sistema romano. — Sistema griego. — Sistema duodecimal.— Sistema chino —Sistema nahoa.- Explicación de Gama y Orozco y Berra. — Nuestro sistema.— Formación de los cuatro números simples.— Primera serie de cinco. — Segunda serie.— Tercera serie. — Serie perfecta ó Ce/ií/)o/íMai/í— Comparación de los sistemas hindú y nahoa. —Último término nahoa. — Números simbólicos.— Series progresivas y números intermedios.— Mayor cantidad a que podía llegar su cuenta.- Representación jeroglífica de los números.

Si los nahoas propiamente no tuvieron escritura jeroglífica, y á eso atribuyen con razón los cronistas su falta de anales, debemos, sin embargo, buscar en sus pinturas el origen de la que después formó su raza; pues ya hemos visto que en el Nuevo México tenían figuras de deidades en las estufas y que en la región tolteca se encontraron además otros signos al parecer cronológicos y copias de armas y hombres guerreando.

Como quiera que la escritura de esa raza, aun cuando llegó á su mayor desarrollo, tuvo siempre un carácter muy propio y que la distingue claramente de los otros jeroglíficos que usaron los diversos pueblos de la tierra, vale la pena de que fijemos desde ahora sus principios esenciales.

No empezaron los pueblos desde luego por tener un alfabeto, es decir, una cierta cantidad de signos fonéticos conque expresar el sonido de todas las palabras: llegar á esto fué alcanzar uno de los mayores adelantos del progreso humano. Lo primero que debió ocurrir al hombre, y en efecto así pasó, fué pintar tal como lo veía el mismo objeto que quería representar. Supongamos que quería significar un conejo, pintaba la figura de un conejo: cualquiera otro que lo veía decía inmediatamente conejo; y así se alcanzaba el fijar el sonido de esta palabra conejo. Esta escritura tuvo que ser la primera y se llama figurativa: consiste en representar el nombre con la figura del objeto mismo.

Desde luego se comprende que tal sistema era muy imperfecto: primero, porque hay palabras que corresponden á objetos que no tienen figura material, como la voz, el canto, el aire, etc.; segundo, porque hay muchas que significan objetos con figura material, pero que ésta es imposible de pintarse exactamente tal cual es, como el cielo, el mar, una batalla, una peste, etc.; tercero, porque otras corresponden á ideas y no á objetos, y por último, porque aun aquellas que pueden materialmente figurarse, daban en ocasiones un trabajo muy grande y que exigía simplificarse. Para fijar la nomenclatura de las diversas maneras de escribir que de tales consideraciones nacieron, solamente tendremos en cuenta el desarrollo que alcanzaron los jeroglíficos de la raza nahoa.

Ya tenemos la representación exacta del objeto, que es el jeroglifico figurativo. En las figuras complicadas principalmente, natural fué que el pintor, para ahorrarse trabajo, procurase fijarlas con sus líneas principales solamente , lo que simplificándose poco á poco daba lugar á nuevas figuras fáciles y sencillas que ya no eran las primitivas, pero que daban idea de ellas y expresaban de la misma manera las palabras correspondientes á los objetos que aquéllas materialmente copiaban. A estos nuevos signos, como no representan la figura sino que solamente nos dan idea de ella, se les llaman jeroglíficos ideográficos. Tales son los caracteres chinos y los mayas: en la pintura nahoa puede decirse que no se usaron. Lo que sí fué costumbre para simplificar la escritura, fué presentar el todo por la parte o por algún accidente: así, para significar un tigre, se ponía solamente la cabeza; para expresar una batalla se pintaba únicamente á dos hombres luchando, y si de la victoria se trataba, ó el vencedor tenía del cabello al vencido ó se figuraba el incendio del teocalli cuando se anotaba la toma de un pueblo. Ciertamente que esta clase de pinturas tienen más de figurativas que de ideográficas; son, á lo más, simplificaciones figuradas del asunto que representan; por lo que las llamaremos
jeroglifieos figurativo-ideográfieos .

Hay objetos que materialmente no se pueden pintar aun cuando tengan forma material, como el firmamento, la noche, el día, el crepúsculo; entonces se usaba de figuras materiales que con ellos tenían relación : así, para significar el crepúsculo, se pintaba un cielo mitad azul y mitad estrellado. Estos jeroglíficos tienen algo de figurativos y más de ideográficos, por lo que los designaremos con el nombre de ideográfico-figurativos.

Vienen luego los objetos inmateriales y las ideas que solamente por símbolos se pueden expresar, como el aire, el movimiento, la luz, la grandeza, la belleza, y esto da origen al jeroglifico simbólico. Pero generalmente el simbolismo se une á un objeto material como la representación de los dioses, y nace entonces el jeroglífico figurativo-simbólico. Del fonético, último adelanto de la civilización nahoa, trataremos á su tiempo.

Haremos, pues, la siguiente clasificación de los jeroglíficos; 1. figurativos; 2. figuratico-ideográficos; 3. ideográfico-figurativos; 4. simbólicos, y 5. figuratito-simbólicos.

¿A cuáles de estas clases pertenecieron las pinturas de los primitivos nahoas? Las pinturas de sus dioses, aunque seres imaginarios, eran de personas humanas con atributos especiales que no pueden llamarse símbolos: constituían, pues, verdaderos jeroglíficos figurativos. Es de notarse que estas figuras tuvieron que ser muy imperfectas en un principio como obra de un pueblo primitivo; y sin embargo de que los posteriores de la misma civilización adelantaron mucho en las artes, se conservó siempre respetuosamente el tipo primordial. En cuanto á los signos cronográficos de los nahoas representaban objetos materiales; de manera que también eran figurativos, pues sólo hay dos simbólicos y dos ideográficos. Podemos, pues, decir que la escritura nahoa era figurativa , y que solamente dejaba de serlo en aquellas cosas de necesaria representación que no tenían figura propia, como los numerales.

Esto nos trae á la aritmética, una de las primeras necesidades de un pueblo anterior á la misma escritura. Materia es ésta que compararemos, al estudiarla, con la de los sistemas principales del Viejo Mundo para que se vea cuan original y autóctona fué la civilización nahoa.

Si estudiamos la numeración de los pueblos antiguos unidos á los hindús por genealogía reconocida ó que de ellos la recibieron, encontramos más próximamente á nosotros el sistema arábigo de las diez cifras:

O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

El O no tiene en sí ningún valor, pero puesto una vez á la derecha de los otros números da las decenas; puesto dos veces, las centenas, y así sucesivamente todos los números posibles, expresando cuantas cantidades se quiera y puedan imaginarse. Éste es el sistema que usa la civilización actual , y aunque se llama arábigo, porque los árabes encontraron la numeración escrita que hoy tenemos, lo aprendieron de la India. Max Müller afirma que los aryas tenían ya el sistema decimal de numeración hasta cien, pero que no conocían el mil.

Este sistema trae su origen de los cinco dedos de la mano ; mas tomando siempre en cuenta las dos manos que dan el número 10. Repitiendo esta cifra, según el número de dedos de las dos manos, se van formando las decenas hasta 100; haciendo igual operación con esta cifra , tendremos las centenas , y así sucesivamente todas las cantidades; pero obsérvese que siempre se necesita de todos los dedos de las dos manos.

Los romanos usaron las siete letras para sus números:

I, uno; V, cinco; X, diez; L, cincuenta; C, cien; D, quinientos; M, mil. El sistema de los diez dedos de las dos manos existía en Roma; pero dividido en cinco unidades por cada mano, V es cinco y X diez; L es cincuenta y C es cien ; D es quinientos y M es mil. Primero entra una mano en la formación numérica y después la otra; pero en definitiva entran las dos y resulta un sistema decimal.

Los griegos tenían en el principio un sistema muy sencillo, basado en seis letras:

I, uno; II, cinco; á; diez; lí, ciento; X, mil; M, diez mil. Después introdujeron cifras para los números 50, 500, 5.000 y 50.000.

Es el mismo sistema de los romanos: los cinco dedos de una mano primero y después los cinco dedos de la otra; pero siempre los diez dedos de las dos manos como base definitiva del sistema.

Podemos, pues, decir que los hindús, los pueblos de su genealogía y los que de ellos aprendieron, han usado el sistema decimal: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000; etc.

Tenemos otro sistema, el duodecimal: éste tiene por base la operación de contar que con el dedo pulgar hacemos en los otros cuatro dedos, repitiéndola en las tres falanges de cada uno de ellos.

Nos da el resultado siguiente :

Primera falange superior de los cuatro dedos: 1, 2, 3, 4.

Segunda falange media de los cuatro dedos: 5, 6, 7, 8.

Tercera falange inferior de los cuatro dedos: 9, 10, 11, 12.

No tiene este sistema numeración propia; pero su división exacta por 2, 3 y 4, hace más fáciles los cálculos, por lo que ha sido adoptado en el uso de los pueblos : la línea tiene doce puntos , la pulgada doce líneas, el pié doce pulgadas.

El sistema binario del Je-Kin de los chinos consiste en la combinación de seis líneas: unas divididas que expresan O y otras completas que representan 1.

Así se forman sesenta y tres figuras, con las cuales dice Leibnitz que se pueden obtener todos los números enteros posibles. Pero los chinos y thibetanos, como los hindús, han usado de tiempo inmemorial el sencillo método de las diez unidades, y después lo han conservado los pueblos que lo recibieron de la India, como los árabes y los indo-europeos.

Veamos cuál era el sistema numeral de los nahoas; notando que la formación de los números es una de las primeras manifestaciones externas de un pueblo, anterior á la escritura, y una de sus primeras imperiosas necesidades para el trato de la vida, y por lo mismo una prueba segura de origen.

El señor Orozco y Berra al tratar de esta enumeración dice, siguiendo á Gama, que la formación de los números comenzó entre los nahoas por los cinco dedos de una mano: computados los otros cinco, se tuvo el número diez, y contando los de los pies y las manos el número veinte.

Parece comprobarlo el hecho de que los cuatro primeros números tienen nombres simples que les son propios.

Ce ó cem 1
ome 2
yei ó ei 3
nahui 4

El número 5 tiene ya nombre compuesto : macuilli. Según Gama, este nombre viene del verbo macueloa, formado de maitl, que es la mano, y del verbo simple cueloa, que significa doblegar; lo que parece demostrar que en su origen distinguían cada unidad doblando un dedo hasta completar los cinco cerrando una mano.

El señor Orozco, considerando los nombres referentes á la mano, encuentra mapilli, dedo de la mano, palabra compuesta de maitl, mano, y de pilli, niño ó hijo: así figuradamente mapilli quiere decir niños, hijos, apéndices de la mano. Encuentra también que xopilli, dedos del pié, tiene el mismo sentido; así como macpalli, palma de la mano. Macuilli se formaría entonces de maitl, del verbo cui, tomar, y de pilli ó simplemente lli, por los apéndices ó dedos; haciendo el compuesto ma-cui-lli, los dedos tomados con la mano, el puño cerrado. Opina, pues, el señor Orozco que la cuenta de las primeras unidades se fué practicando por medio de doblar los dedos de la mano hasta que al llegar á cinco se formó el puño.

Del 6 al 9 las palabras son compuestas. En sentir de Gama, chicoace ó chicuace se deriva del adverbio chico, que significa á mi lado, y la proposición huan, que es junto de otro; y así todo el vocablo chicohuance ó chicoace por síncopa, querría decir uno al lado, junto de los otros. Mas el señor Orozco dice que chico tiene á veces la significación de mitad, como en las palabras chicocua, chicocaiacua,chicocuatic, medio comido; que la partícula a cuenta entre sus significados el de así como; de manera que chico-a da á entender la mitad de las manos, una mano. Los compuestos chicuace, chicóme, chicuei y chíconahui significarían entonces una mano más uno, más dos, más tres y más cuatro, ó sea 6, 7, 8 y 9.

Matlactli, 10, no está formado por aglomeración: según el señor Orozco, sus radicales no ofrecen duda, pues maitl y tlactli dan el cuerpo del hombre desde la cinta arriba, es decir, las manos de la parte superior del hombre. Si macuilli era una mano cerrada, mactlactli será las dos manos cerradas. Del 11 al 14 sigue la aglomeración añadiendo á matlactli los cuatro dígitos fundamentales por medio de la partícula on, ya sea en el sentido de más , ya , como quiere Molina , por vía ó manera de ornato y buen sentido. Así tendremos: matlactlionce 11, matlactliomome 12, mactlactliomei 13 y matlactlionnahui 14.

Caxtolli, caxtulli, 15, dice el señor Orozco que aparece como radical y que no atina cómo pueda ser desatado ni encuentra explicación en los autores. Con este nombre, la ligatura on y los digitales, se forman los números del 16 al 19 de la manera siguiente:
caxtollionce 16, caxtolliomome 17, caxtolliomei 18 y caxtollionnahui 19. El 20 es cempohualli , que quiere decir una cuenta, y que pudo componerse, según el señor Orozco, de cem, una; del verbo poa, contar, y de pilli ó lli por los dedos: cem-poa-lli , una cuenta de los dedos. Veinte, agrega el señor Orozco, es por excelencia el número mexicano; es el yo, el individuo, compuesto de cuatro partes , los pies y las manos, cada uno con cinco apéndices ó dedos.

Hemos querido citar las respetables opiniones de Gama y Orozco para que se conozca, precisamente por qué es diverso nuestro sistema y como nuevo atrevido.

No hay duda de que el 20 es el número nahoa por excelencia; pero no se formó como han creído Gama y el señor Orozco.

5 dedos de una mano.
5 dedos de la otra mano.
5 dedos de un pié.
5 dedos del otro pié.

Entre los apuntes manuscritos del señor Ramírez, recordamos uno en que decía que los nahoas formaren el número 5 con los cuatro dedos unidos de la mano sumados con el pulgar, así:
4 + l=5.

No decía más el apunte ni daba otra explicación; pero como para nosotros el señor Ramírez es la primera autoridad en estos asuntos y vemos con respeto aun una simple nota de su mano puesta al margen de cualquier libro, tuvimos desde luego por cierto lo que decía y nos dimos á buscar la explicación. Veamos cuál fué el resultado.

En el sistema hindú el número principal es el 10, que se forma de 5 + 5: allí el número 5 es esencial; pero en el sistema nahoa el número esencial es el 4, pues el 20 se forma de 5X4, como el 5 se formó de 4 + l. Si se observan los nombres de los números, encontraremos que sólo los cuatro primeros son simples, ce, ome, yei y nahui; ya el quinto tiene un nombre compuesto, macuilli: los cuatro números siguientes, 6, 7, 8 y 9, toman por base de sus nombres los simples de los cuatro primeros, chicuce, chicóme, chicuei y chiconahui; pero el segundo quinto, el 10, tiene nombre compuesto diferentemente, matlactli: los cuatro que siguen, 11, 12, 13 y 14, reciben también como base de su composición los cuatro simples primeros, matlactliónce , matlactliomome, matlactliomei y matlactlionnahui; y volvemos á encontrar nombre especial para el tercer quinto, el 15, que se llama caxtolli: repítase la combinación de los nombres simples en los cuatro números siguientes, 16, 17, 18 y 19, caxtollionce, caxtolliomome , caxtolliomei y caxtollionnahui: y finalmente para el último quinto, el 20, vuelve á encontrarse un nombre formado de elementos propios, cempohtialli. Se ve, pues, que los nahoas quisieron distinguir los cuatro primeros números del quinto; no han tomado el número 5 por base , sino como resultado de 4+1.

Si esto es verdad , y para nosotros todos los datos aducidos lo demuestran , la consecuencia lógica es que la primera serie de veinte números debía formarse con sólo esos dos elementos, y por lo mismo con una sola mano.

Siempre habíamos rechazado la idea de que se tomasen en cuenta los dedos de los pies , pues si el origen de la enumeración fué la costumbre primitiva de hacer las cuentas con los dedos de las manos, costumbre que tienen todavía los niños y los indoctos , claro es que no debían tomarse en consideración los dedos de los pies, pues á nadie le ha ocurrido írselos tentando para hacer una cuenta. Ahora bien, valiéndose nada más de las manos, como es natural, no puede haber más que dos métodos de hacer las cuentas: el primero, contar con una mano los dedos de la otra, lo que da el número 5; y después contar los” dedos de ésta con la otra mano, lo que también produce un 5 , y los dos cincos unidos el número 10: este fué el procedimiento del sistema decimal. El segundo método, origen del sistema duodecimal como hemos visto, consiste en no servirse más que de una mano, valiéndose del pulgar para contar sobre los otros cuatro dedos; pero haciendo la cuenta por falanges. El procedimiento nahoa tuvo que ser semejante, pues si se hubiera valido de las dos manos habría tenido por resultado el 10; mas se debió usar una combinación distinta de la cuenta por falanges que da el 12. La simple cuenta de los dedos produce nada más el 4, y los nahoas tenían por número principal el 20. Y sin embargo, formaron su enumeración con una sola mano, formando el pulgar de persona que cuenta. ¿Cómo? Nos va á dar la contestación la etimología de sus números.

Nombres simples: 1 ce, 2 ome, 3 yei, 4 nahui. Dice el señor Orozco que nadie ha dado razón del origen de estos nombres.

Los hombres debieron poner nombre primeramente á las cosas más esenciales para la vida , y sin duda que las principales de estas cosas fueron sus alimentos : éstos, antes de que inventaran los instrumentos de caza y que se dedicaran á hacer producir la tierra por la agricultura, debieron ser los frutos naturales de los árboles.

Más tarde, cuando sus necesidades y las primeras operaciones de comercio les obligaron á inventar la numeración, al mismo tiempo que la formaban con la cuenta de los dedos, fueron poniendo nombre á los cuatro dedos que iba designando el pulgar, y debieron sacar estos nombres de las pocas palabras que entonces tenían, dándoles las formas más simples, como cosa que debían usar y repetir mucho. Pues bien: refiriéndonos á las frutas, primer alimento de los hombres, encontramos que los nahoas llamaban ceceltic á la cosa fresca y verde, omacic á la cosa madura, yectli á la cosa buena, y nahuatile á la persona ó cosa regular. Los nombres de los dedos entre nosotros vienen de su tamaño ú objeto : el primero ó más pequeño se llama meñique ; el segundo anular, en el que se pone el anillo; el tercero, mayor, porque es el más grande; y el cuarto, índice, porque nos sirve para señalar. Así los nahoas, al primer número que se relacionaba con el primer dedo, el más pequeño, le pusieron ce, de ceceltic, cosa verde, porque la fruta verde es la más pequeña , y es la primera fase, digámoslo así, de su vida. Cuando la fruta madura y está en su segunda época, se llama omacic, y es más grande de tamaño: por eso, refiriéndose al segundo dedo, que es más grande que el primero, llamóse ome al número 2. El dedo de en medio es el mayor y le corresponde el número 3: así la fruta ya buena ha alcanzado su mayor tamaño, y está en el tercero y último período de su desarrollo, y por esto el número 3 es yei, de yectli, cosa buena. El cuarto dedo no es tan grande como el tercero, es de tamaño regular; y por lo mismo el número 4 á que él se refiere se llama nahui, de la voz nahuatile, cosa regular. Podemos, pues, decir que los nombres simples de los cuatro primeros números vienen del tamaño respectivo de los cuatro dedos juntos de la mano, y que el pulgar formó con ellos lo primera cuenta, comenzando por el más pequeño.

Si los dedos se hubieran ido cerrando sobre la mano para formar el puño, y significara esto macuilli ó 5, éste se representaría en los jeroglíficos con una mano cerrada, y por el contrario, se expresa con una mano abierta. Observando los nombres de los números 5, 10, 15 y 20, veremos que todos terminan en tli, desinencia que significaba persona y que puede traducirse: el que ó quien. Refiriéndonos al número 5, el tli es el pulgar, el que ha hecho la cuenta de los otros cuatro dedos.

Maitl significa mano; cuilia tomar algo á otro; tli, el que; ma-cuil-li, el que toma á otro la mano. Dé el lector la mano á cualquier persona, y observará que con el pulgar le toma y oprime la suya. Podemos, pues, decir definitivamente que los cinco primeros números de los nahoas se formaron de los cincos dedos de la mano en dos partes ; la primera de los cuatro dedos juntos, y la segunda del pulgar.


Ce, número 1, el dedo más chico.
Ome, número 2, el dedo mayor que el primero.
Yei, número 3, el dedo mayor de todos.
Nahui, número 4, el dedo regular.


Macuilli, número 5, el dedo que toma la mano de otro.

Estas dos partes dan con la mano abierta la fórmula primera de la numeración nahoa: 4+1. El pulgar cuenta los números 1, 2, 3 y 4, tocando los otros dedos, y separándose después de ellos, forma él mismo el número 5.

Para los números 6, 7, 8 y 9, el pulgar vuelve á funcionar como persona agente, doblando uno á uno los otros cuatro dedos de la mano. En efecto, el número 6, chicuace, es palabra compuesta de chico, aviesamente, val, hacia acá, y el número 1 ce: es decir, traer hacia sí el número 1, ó el dedo pequeño al revés, ó doblar sobre la mano el dedo pequeño. Bien indica el movimiento el adverbio aviesamente que viene del latín adversus, en sentido opuesto, cerrando el dedo pequeño que estaba abierto. Doblando los otros tres dedos se forman chicóme, 7, chicuei, 8 y chiconahui, 9. Cerrando los cuatro dedos y poniendo encima el pulgar para hacer el puño, queda la mano reducida á la mitad de su altura y entonces el número 10 se llama la mitad de la mano , matlactli, de ma-itl, mano, tlac-ol, la mitad, y tli, el que: el que hace la mitad de la mano doblándolos otros dedos.

Si después de haber bajado los dedos, el pulgar los va levantando uno á uno, nos da los nombres de los números 11, 12, 13, 14: matlactlionce, matlactliomome, matlactliomei y matlactlionnahui. Aquí las voces se componen del puño ó media mano, matlactli, de los números de los dedos y de la partícula on, que significa alejar, separar del lugar. Así matlactlionce quiere decir uno separado de la media mano ó puño; matlactliomome , dos separados del puño; matlactliomei, tres separados del puño; y matlactlionnahui, los cuatro dedos separados del puño: lo que nos da los números 11, 12, 13, y 14. El número 15, es el pulgar que los ha separado, y esto quiere decir caxtolli, cuyo significado, según el señor Orozco, no atinan ni explican los autores. Se forma la palabra del verbo cax-aua, aflojar, tol-oa, abajar ó inclinar, y el sufijo tli, el que: el que añojo los dedos abajados ó doblados.

Tenemos ya tres posiciones de la mano : para los primeros cinco números en su posición natural enteramente abierta; para los segundos cinco números formando puño, enteramente cerrada; y para los terceros cinco números con los dedos aflojados á medio abrir, podríamos decir la mano en forma de garra. El pulgar hace los números 16, 17, 18 y 19, separando los dedos de la garra y trayéndolos hacia sí, juntándolos; y por eso al separarlos de la situación que tenían , se llaman los números caxtollionce, caxtolliomome, caxtolliomei y caxtollionnahui. Ya juntos los dedos por sus yemas, nos da el pulgar el número 20 , que se llama  cempohualli  ó una cuenta de la unidad cem, el verbo po-a, contar, hual, hacia acá, y el sufijo ili: el que hizo una cuenta juntando los dedos. Así con una sola mano, en las cuatro posiciones que puede tener, se formaron los 20 números de la serie perfecta de los nahoas.

1, 2, 3, 4 y 5. — La mano abierta.
6, 7, 8, 9 y 10. — La mano cerrada.

11, 12, 13, 14 y 15. — La garra abierta.
16, 17, 18, 19 y 20. — La garra cerrada.

Si para convencernos de lo original y autóctono de la numeración nahoa, la comparamos con la hindú, base de las numeraciones asiáticas y europeas, obtendremos las siguientes diferencias:

  1. Que los hindús formaron su numeración valiéndose de los dedos de las dos manos, y los nahoas usando nada más de los dedos de una mano.
  2. Que los hindús tuvieron como elemento de su numeración la fórmula 5+5, y los nahoas la fórmula 4+1.
  3. Que la serie perfecta de los hindús era de 1 á 10, y la de los nahoas de 1 á 20.
  4. Que en su desarrollo posterior , el primer término de la serie progresiva de los hindús fué el 10 sirviendo constantemente de multiplicador, mientras que entre los nahoas fué el 20.

Pero así como entre los aryas no tuvo su completo desarrollo la serie progresiva y el último término fué el 100, los nahoas tuvieron por último término suyo el 80, según datos jeroglíficos muy precisos que hemos examinado, por más que los pueblos que de ellos descendieron, desarrollaran ampliamente la serie progresiva tomando por multiplicador el número 20. Los nahoas tuvieron por primer número de su serie el 4: hemos visto que del 4+1 hicieron el 5 ; que del 5X4 formaron el 20; y finalmente del 20X4 tuvieron el 80.

El mismo 4 con el 1 les sirvió para formar sus números simbólicos, cuya aplicación veremos al tratar del calendario. Nos limitaremos aquí á anunciar cuáles fueron los hindús y los nahoas. Los números simbólicos, como unidos á las ideas religiosas y á las preocupaciones de los pueblos, dan idea segura de la personalidad de una raza, y por esto encontramos los mismos en la India, Grecia y Roma. Son cinco: el 3, tríade, el número perfecto; el 5; el 7, siete son los planetas, los días de la semana, las hiadas, etc.; el 9, emblema de la muerte ó sucesión de la vida; y el 10 drcada, fundamento de las ciencias. Según nuestras observaciones creemos que se formaron sumando los primeros números sucesivamente de dos en dos: 1+2=3; 2+3=5; 3+4=7; 4+5=9. El número 10 se formó de las cuatro primeras unidades: 1+2+3+4=10.

Los nahoas formaron sus números misteriosos y simbólicos con la sola combinación del 1 y el 4.

El Ometecuhtli, el Omeyócan, etc.

4. —
Los cuatro astros, los cuatro soles, los cuatro signos iniciales, etc.

1+4=5. —
Los cinco días del tianqniztli , los cinco soles mexica, el período de cinco ciclos, etc.

1+4+4=9. —
Los acompañados, los nueve meses que hacen el medio año, etc.

1+4+4 + 4=13. —
Los días de la triadecatéride, los años del tlalpilli, etc.

1+4=5X4=20. —
Los números de la serie perfecta, el número inicial de la serie progresiva, los días del mes, etc.

Resulta, pues, la siguiente tabla:


Hindús.— 3, 5, 7, 9, 10.

Nahoas.— 2, 4, 9, 13, 20.

Hemos dicho que el último término de los nahoas fué el número 80; veamos cómo se formaban las cifras intermedias. Escribamos continuadamente, para mayor claridad, la primera serie de 20.

  1. Ce.
  2. Ome.
  3. Yei.
  4. Nahui.
  5. Macuilli.
  6. Chicuace.
  7. Chicóme.
  8. Chicuei.
  9. Chiconahui.
  10. Matlactli..
  11. Matlactlionce.
  12. Matlactliomome. 
  13. Matlactliomei.
  14. Matlactlionnahui.
  15. Caxtolli.
  16. Caxtollionce.
  17. Caxtolliomome. 
  18. Caxtolliomei. 
  19. Caxtollionnahui. 
  20. Cempohualli.

Del 20 al 80, para formar las series progresivas y los números intermedios, se sigue una regla sencilla:
anteponiendo un numeral simple á pohualli, le sirve de multiplicador y hace serie, y posponiendo á una serie
los numerales de la primera y uniéndolos con la partícula, on, se suman con ella. Así tendremos las cuatro

20. — Cempohualli.
40.—Ompohualli, dos veintes.
60. — Yeipohualli, tres veintes.
80. — Nauhpohualli, cuatro veintes.

Formando ahora todos los números de la segunda, tercera y cuarta serie, pues ya tenemos los de la
primera, nos darán:

Segunda serie


22. Cempohualliomome

23. Cempohualliomei

24. Cempohuallionnahui

25. Cempohuallionmaculli

26. Cempohuallionchicaue

27. Cempohuallionchicome

28. Cempohuallionchicuei

29. Cempahuallionchiconahui

30. Cempohuallionmatlactli

31. Cempohuallionmatlactlionce

32. Cempohuallionmatlactliomome

33. Cempohuallionmatlactliomei

34. Cempohuallionmatlactlionnahui

35. Cempohuallioncoxtolli




39. Cempohuallioncoxtollionnahui

40. Ompohualli

Haciendo á ompohualli las mismas adiciones hechas á cempohualli , obtendremos los números hasta el 59.
El 60 es yeipohualli ó tres veces 20. Yeipohualli, con las adiciones sucesivas usadas en las dos series
anteriores, forma hasta el 79. El 80 es nauhpohualli ó cuatro veces veinte. Tal es el nombre que tiene en
la enumeración mexica, en que la serie progresiva alcanzó mayor extensión; de modo que en ella quedó
como número secundario. Pero entre los nahoas fué el número principal y fin de la serie y es evidente que
debió tener nombre propio. Aun cuando de esta cifra, como principal y última de la serie nahoa, no hablan los
autores ni nos dan su nombre especial, por datos jeroglíficos irrecusables podemos decir que se llamaba
xíhuitl, voz que tiene los significados de año, hierba y turquesa.

Ya ahora podemos comprender hasta dónde llegaba la mayor cuenta de los nahoas. Anteponiendo sucesivamente todo á los números de las cuatro series al xihuitl, producían la multiplicación del número antepuesto por 80 y podían llegar hasta 80X80=6400; cifra suficiente para las necesidades de un pueblo

Fijada ya la numeración aritmética, estudiemos la representación jeroglifica de los números. Fué natural
que la división numeral determinara la representación escrita. Encontramos primero la unidad significada por
un punto, una raya ó un dedo. Se expresaba cualquiera cantidad con el número de puntos ó rayas correspondientes, ya pintándolos, labrándolos en los monumentos de piedra ó haciéndolos con un taladro. Por este método hemos visto en una piedra hasta el número 104, representado por ciento cuatro circulillos hechos con taladro.

En el códice Mendocino hay hasta el número 8 expresado con ocho dedos; pero generalmente no se usaba
de los puntos ó líneas sino para los números de 1 al 19; entonces, siguiendo la división numeral de cinco en
cinco, se marcaba la separación de los puntos en fracciones de á cinco. Esa regla era general, pero no absoluta , pues varias veces los puntos se dividían simétricamente por el buen parecer del dibujo.

Pero el número 5, como primer período de la serie de 20, debía tener representación propia; y ésta era
una mano abierta. Usóse poco, sin embargo, porque era más fácil poner los cinco puntos. Lo mismo sucedía
con el número 10, sin embargo de que tenía figura especial. Era ésta un cuadrado grande con un pequeño
dentro ó dos círculos concéntricos, ó más comúnmente un cuadrado puesto con uno de los ángulos hacia arriba y con los lados rectilíneos ó curvilíneos.

El número 20 sí tenía representación propia y muy usada: era una especie de pequeña bandera. Con ésta y
los puntos se usaba escribir todos los números hasta 80, repitiendo una bandera por cada 20 y un punto por cada unidad. Así para representar 72 ponían tres banderas y doce puntos.

Pero como el número 20 lo habían formado con cuatro períodos menores de á 5, dividieron la bandera en cuatro partes que cada una representaba 5 también. Si la bandera no tenía división significaba 20 siempre;
si la dejaban con tres partes blancas y una de color ó señalada como si estuviese separada del resto, expresaba el número 15, y si esta división era por mitad, daba el número 10. Esto simplificaba mucho la numeración escrita. Así el 72 se podía representar con tres banderas, una bandera dividida por mitad y dos puntos.

El número 80 tenía dos representaciones , que Humboldt y el señor Orozco confundieron con las del número 400, serie de época posterior que no conocieron ni usaron los nahoas. Es la primera una atadura de hierbas, xihuitl, que nos daría la voz xiuhmolpilli que, como veremos más adelante, correspondía también entre los nahoas al número 80. La cinta con grecas que tiene este signo recuerda la ornamentación nahoa.

Marcadas las tres cuartas partes de él. como en la bandera, se forma el número 60, y marcada solamente
la mitad el 40. La otra representación del 80 es una turquesa adornada de hierbas en la parte superior, dando ambos objetos la voz xiluñÜ: así se ve en las pinturas de los soles. En ellas bastan este signo y los puntos numerales para anotar claramente, como ya hemos visto, períodos que sumados dan más de tres mil años.

Fueron suficientes sin duda estos signos para las necesidades de los nahoas; y como un pueblo primitivo
debió usar los elementos más sencillos, podemos establecer como regla que los nahoas, para expresar una
cantidad cualquiera que no pasase de 6.400, que fué la cifra mayor á que llegaron, la dividían primero en
fracciones de á 80, poniendo tantos manojos ó turquesas como fracciones resultaban ; después dividían la fracción restante en nuevas fracciones de á 20, pintando tantas banderas como eran las nuevas fracciones, y el resto de fracción de á 20 lo marcaban con tantos puntos como unidades quedaban. Pondremos un ejemplo: 393 da primeramente cuatro fracciones de á 80, después tres de á 20 y un residuo de trece unidades; por lo tanto se escribía con cuatro turquesas, tres banderas y trece puntos.

La aritmética adelantó después , pero debemos reservar lo demás que á ella se relaciona para tratarlo en su debido lugar cuando nos ocupemos de épocas posteriores.