Real Programmers write in FORTRAN

Real Programmers write in FORTRAN

Maybe they do now,
in this decadent era of
Lite beer, hand calculators, and “user-friendly” software
but back in the Good Old Days,
when the term “software” sounded funny
and Real Computers were made out of drums and vacuum tubes,
Real Programmers wrote in machine code.
Not FORTRAN. Not RATFOR. Not, even, assembly language.
Machine Code.
Raw, unadorned, inscrutable hexadecimal numbers.
Directly.

Stuxnet

An Unprecedented Look at Stuxnet, the World’s First Digital Weapon


Stuxnet is a malicious computer worm believed to be a jointly built AmericanIsraeli cyber weapon.[1] Although neither state has confirmed this openly,[2] anonymous US officials speaking to the Washington Post claimed the worm was developed during the Obama administration to sabotage Iran’s nuclear program with what would seem like a long series of unfortunate accidents.[3]

Stuxnet specifically targets PLCs, which allow the automation of electromechanical processes such as those used to control machinery on factory assembly lines, amusement rides, or centrifuges for separating nuclear material. Exploiting four zero-day flaws,[4] Stuxnet functions by targeting machines using the Microsoft Windows operating system and networks, then seeking out Siemens Step7 software. Stuxnet reportedly compromised Iranian PLCs, collecting information on industrial systems and causing the fast-spinning centrifuges to tear themselves apart.[5] Stuxnet’s design and architecture are not domain-specific and it could be tailored as a platform for attacking modern SCADA and PLC systems (e.g., in automobile or power plants), the majority of which reside in Europe, Japan and the US.[6] Stuxnet reportedly ruined almost one-fifth of Iran’s nuclear centrifuges.[7]

Stuxnet has three modules: a worm that executes all routines related to the main payload of the attack; a link file that automatically executes the propagated copies of the worm; and a rootkit component responsible for hiding all malicious files and processes, preventing detection of the presence of Stuxnet.[8]

Stuxnet is typically introduced to the target environment via an infected USB flash drive. The worm then propagates across the network, scanning for Siemens Step7 software on computers controlling a PLC. In the absence of either criterion, Stuxnet becomes dormant inside the computer. If both the conditions are fulfilled, Stuxnet introduces the infected rootkit onto the PLC and Step7 software, modifying the codes and giving unexpected commands to the PLC while returning a loop of normal operations system values feedback to the users.[9][10]

In 2015, Kaspersky Labs‘ research findings on another highly sophisticated espionage platform created by what they called the Equation Group, noted that the group had used two of the same zero-day attacks used by Stuxnet, before they were used in Stuxnet, and their use in both programs was similar. The researchers reported that “the similar type of usage of both exploits together in different computer worms, at around the same time, indicates that the EQUATION group and the Stuxnet developers are either the same or working closely together”.[11]:13

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education system

“The world economy no longer pays for what people know but for what they can do with what they know.”
– Andreas Schleicher, OECD deputy director for education

Sir Ken Robinson makes an entertaining and profoundly moving case for creating an education system that nurtures (rather than undermines) creativity.

http://thelearningcurve.pearson.com/2014-report-summary/

East Asian nations continue to outperform others. South Korea tops the rankings, followed by Japan (2nd), Singapore (3rd) and Hong Kong (4th). All these countries’ education systems prize effort above inherited ‘smartness’, have clear learning outcomes and goalposts, and have a strong culture of accountability and engagement among a broad community of stakeholders.
Scandinavian countries, traditionally strong performers, are showing signs of losing their edge. Finland, the 2012 Index leader, has fallen to 5th place; and Sweden is down from 21st to 24th.
Notable improvers include Israel (up 12 places to 17th), Russia (up 7 places to 13th) and Poland (up four places to 10th).
Developing countries populate the lower half of the Index, with Indonesia again ranking last of the 40 nations covered, preceded by Mexico (39th) and Brazil (38th).

South Korea demonstrates the interplay between adult skills and the demands of employers. In South Korea young people score above average for numeracy and problem-solving skills, but are below average over the age of 30. According to Randall S Jones of the OECD, this skills decline is explained by many graduates “training for white-collar jobs that don’t exist”. This leads to a higher than average proportion failing to secure employment, and a quicker diminishing of their skills.

Developing countries must teach basic skills more effectively before they start to consider the wider skills agenda. There is little point in investing in pedagogies and technologies to foster 21st century skills, when the basics of numeracy and literacy aren’t in place.

Technology can provide new pathways into adult education, particularly in the developing world, but is no panacea. There is little evidence that technology alone helps individuals actually develop new skills.

Lifelong learning, even simple reading at home and number crunching at work, helps to slow the rate of age-related skill decline; but mainly for those who are highly skilled already. Teaching adults does very little to make up for a poor school system.

Making sure people are taught the right skills early in their childhood is much more effective than trying to improve skills in adulthood for people who were let down by their school system. But even when primary education is of a high quality, skills decline in adulthood if they are not used regularly.

In recent years it has become increasingly clear that basic reading, writing and arithmetic are not enough.
The importance of 21st century non-cognitive skills – broadly defined as abilities important for social interaction – is pronounced.

The OECD estimates that half of the economic growth in developed countries in the last decade came from improved skills.

Stuxnet

Israel y Estados Unidos desarrollaron técnicas para atacar sistemas de control industrial con el propósito de fastidiar a Irán,pero el secreto es saber que se puede y ahora el genio se salio de la lampara

SAN JOSE, Calif. (AP) — When a computer attack hobbled Iran‘s unfinished nuclear power plant last year, it was assumed to be a military-grade strike, the handiwork of elite hacking professionals with nation-state backing.
Yet for all its science fiction sophistication, key elements have now been replicated in laboratory settings by security experts with little time, money or specialized skill. It is an alarming development that shows how technical advances are eroding the barrier that has long prevented computer assaults from leaping from the digital to the physical world.
The techniques demonstrated in recent months highlight the danger to operators of power plants, water systems and othercritical infrastructure around the world.
“Things that sounded extremely unlikely a few years ago are now coming along,” said Scott Borg, director of the U.S. Cyber Consequences Unit, a nonprofit group that helps the U.S. government prepare for future attacks.
While the experiments have been performed in laboratory settings, and the findings presented at security conferences or in technical papers, the danger of another real-world attack such as the one on Iran is profound.
The team behind the so-called Stuxnet worm that was used to attack the Iranian nuclear facility may still be active. New malicious software with some of Stuxnet’s original code and behavior has surfaced, suggesting ongoing reconnaissance against industrial control systems.
And attacks on critical infrastructure are increasing. The Idaho National Laboratory, home to secretive defense labs intended to protect the nation’s power grids, water systems and other critical infrastructure, has responded to triple the number of computer attacks from clients this year over last, the U.S. Department of Homeland Security has revealed.
For years, ill-intentioned hackers have dreamed of plaguing the world’s infrastructure with a brand of sabotage reserved for Hollywood. They’ve mused about wreaking havoc in industrial settings by burning out power plants, bursting oil and gas pipelines, or stalling manufacturing plants.
But a key roadblock has prevented them from causing widespread destruction: they’ve lacked a way to take remote control of the electronic “controller” boxes that serve as the nerve centers for heavy machinery.
The attack on Iran changed all that. Now, security experts — and presumably, malicious hackers — are racing to find weaknesses. They’ve found a slew of vulnerabilities.
Think of the new findings as the hacking equivalent of Moore’s Law, the famous rule about computing power that it roughly doubles every couple of years. Just as better computer chips have accelerated the spread of PCs and consumer electronics over the past 40 years, new hacking techniques are making all kinds of critical infrastructure — even prisons — more vulnerable to attacks.
One thing all of the findings have in common is that mitigating the threat requires organizations to bridge a cultural divide that exists in many facilities. Among other things, separate teams responsible for computer and physical security need to start talking to each other and coordinate efforts.
Many of the threats at these facilities involve electronic equipment known as controllers. These devices take computer commands and send instructions to physical machinery, such as regulating how fast a conveyor belt moves.
They function as bridges between the computer and physical worlds. Computer hackers can exploit them to take over physical infrastructure. Stuxnet, for example, was designed to damage centrifuges in the nuclear plant being built in Iran by affecting how fast the controllers instructed the centrifuges to spin. Iran has blamed the U.S. and Israel for trying to sabotage what it says is a peaceful program.
Security researcher Dillon Beresford said it took him just two months and $20,000 in equipment to find more than a dozen vulnerabilities in the same type of electronic controllers used in Iran. The vulnerabilities, which included weak password protections, allowed him to take remote control of the devices and reprogram them.
“What all this is saying is you don’t have to be a nation-state to do this stuff. That’s very scary,” said Joe Weiss, an industrial control system expert. “There’s a perception barrier, and I think Dillon crashed that barrier.”
One of the biggest makers of industrial controllers is Siemens AG, which made the controllers in question. The company said it has alerted customers, fixed some of the problems and is working closely with CERT, the cybersecurity arm of the U.S. Department of Homeland Security.
Siemens said the issue largely affects older models of controllers. Even with those, the company said, a hacker would have to bypass passwords and other security measures that operators should have in place. Siemens said it knows of no actual break-ins using the techniques identified by Beresford, who works in Austin, Texas, for NSS Labs Inc.,
Yet because the devices are designed to last for decades, replacing or updating them isn’t always easy. And the more research that comes out, the more likely attacks become.
One of the foremost Stuxnet experts, Ralph Langner, a security consultant in Hamburg, Germany, has come up with what he calls a “time bomb” of just four lines of programming code. He called it the most basic copycat attack that a Stuxnet-inspired prankster, criminal or terrorist could come up with.
“As low-level as these results may be, they will spread through the hacker community and will attract others who continue digging,” Langer said in an email.
The threat isn’t limited to power plants. Even prisons and jails are vulnerable.
Another research team, based in Virginia, was allowed to inspect a correctional facility — it won’t say which one — and found vulnerabilities that would allow it to open and close the facility’s doors, suppress alarms and tamper with video surveillance feeds.
During a tour of the facility, the researchers noticed controllers like the ones in Iran. They used knowledge of the facility’s network and that controller to demonstrate weaknesses.
They said it was crucial to isolate critical control systems from the Internet to prevent such attacks.
“People need to deem what’s critical infrastructure in their facilities and who might come in contact with those,” Teague Newman, one of the three behind the research.
Another example involves a Southern California power company that wanted to test the controllers used throughout its substations. It hired Mocana Corp., a San Francisco-based security firm, to do the evaluation.
Kurt Stammberger, a vice president at Mocana, told The Associated Press that his firm found multiple vulnerabilities that would allow a hacker to control any piece of equipment connected to the controllers.
“We’ve never looked at a device like this before, and we were able to find this in the first day,” Stammberger said. “These were big, major problems, and problems frankly that have been known about for at least a year and a half, but the utility had no clue.”
He wouldn’t name the utility or the device maker. But he said it wasn’t a Siemens device, which points to an industrywide problem, not one limited to a single manufacturer.
Mocana is working with the device maker on a fix, Stammberger said. His firm presented its findings at the ICS Cyber Security Conference in September.
Even if a manufacturer fixes the problem in new devices, there’s no easy way to fix it in older units, short of installing new equipment. Industrial facilities are loath to do that because of the costs of even temporarily shutting its operations.
“The situation is not at all as bad as it was five to six years ago, but there’s much that remains to be done,” said Ulf Lindqvist, an expert on industrial control systems with SRI International. “We need to be as innovative and organized on the good-guy side as the bad guys can be.”
___
Jordan Robertson can be reached at jrobertson(at)ap.org

the Stuxnet computer worm

When first discovered in 2010, the Stuxnet computer worm posed a baffling puzzle. Beyond its sophistication loomed a more troubling mystery: its purpose. Ralph Langner and team helped crack the code that revealed this digital warhead’s final target. In a fascinating look inside cyber-forensics, he explains how — and makes a bold (and, it turns out, correct) guess at its shocking origins.

Ralph Langner’s Stuxnet Deep Dive is the definitive technical presentation on the PLC attack portion of Stuxnet. He did a good job of showing very technical details in a readable and logical presentation that you can follow in the video if you know something about programming and PLC’s.

The main purpose of Ralph’s talk was to convince the audience with “100% certainty” that Stuxnet was designed specifically to attack the Natanz facility. He does this at least four different ways, and I have to agree there is no doubt.

Ralph Langner is a German control system security consultant. He has received worldwide recognition for his analysis of the Stuxnet malware.

  • Stuxnet worm hits Iranian centrifuges – from mid-2009 to late 2010
  • Iran complains facilities hit by Stars malware – April 2011
  • Duqu trojan hits Iran’s computer systems – November 2011
  • Flame virus targets computers in PCs across the Middle East, including Iran and Israel – June 2012
  • Iran says Stuxnet worm returns – December 2012

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el ciclo maya de 52 HAAB

(sep.2012) Producción inspirada en la sabiduría maya, ese pueblo tan increíblemente adelantado que aún hoy resulta sorprendente su cúmulo de conocimientos y la perfección que alcanzaron. Muestra de ello es su concepto del tiempo, su sistema especial para contar, de base vigesimal y su relación directa con la manera de medir el tiempo, para lo que usaban dos calendarios básicos (el sagrado y el civil) y tres cuentas diferentes, lo cual no daba posibilidad de error. Estas tres cuentas coincidían cada 52 Haab (años civiles de 365 días fijos), por lo que era un momento de especial y profunda importancia. La vida entera giraba en base a la magia de estas cuentas, dándole a cada día un significado único, por lo que se podían hacer predicciones precisas. Mucho se ha hablado del 21.12.2012. El significado es profundo, pero simple: Termina una importante “cuenta larga”, y con ello se “aniquila todo lo malo del [gran] ciclo anterior” para dar inicio a otra nueva cuenta, con una poderosa fuerza de renacimiento. Todos los calendarios vuelven a comenzar de cero (otro de los geniales “inventos” mayas….!). Producción original: Carlos Rangel

el ciclo maya de 52 HAAB

Hace más de 3000 años, la civilización maya floreció desde el sureste de México hasta Honduras inclusive.

Los mayas fueron una sociedad de grandes hombres: astrónomos, matemáticos, poetas, filósofos, artesanos, constructores, y pensadores. Hablaban 44 lenguas mayas. Su literatura ilustra la vida de su cultura en obras como el Rabinal Achí, el Popol Vuh, y los diversos libros del Chilam Balam.

La poesía, la literatura, y el conocimiento matemático de los mayas, estaban ligados a su cosmovisión. Entre los mayas, la religión siempre influyó en los ritos agrícolas, en el arte y en su cultura.

La casta sacerdotal maya, llamada Ah Kin, era poseedora de conocimientos matemáticos y astronómicos que interpretaba de acuerdo con su cosmovisión religiosa, los años que iniciaban, los venideros y el destino del hombre. La gente común los consultaba para saber si un determinado día era favorable o no para algún asunto familiar o económico. Sin embargo los pronósticos era un asunto de los dioses. En el Libro del
Chilam Balam contempla una lista de días Tzolk´in con sus pronósticos.

La religión maya tenía tres características fundamentales:
Politeísta:
Adoraban a varios dioses a la vez.
Naturalista:
Los dioses eran los elementos, los fenómenos atmosféricos y los cuerpos celestes.
Dualista:
Partía del principio de que el bien y el mal son igualmente divinos, en constante lucha unos con otros, siempre inseparables, como el día y la noche.

Los mayas concebían al cosmos compuesto por 13 cielos, uno sobre otro, siendo la tierra la capa más baja. Sobre cada cielo presidían trece dioses, llamados los Oxlahuntikú.

Bajo la tierra (inframundo) había otros nueve cielos, también en capas, sobre los que presidían los Bolontikú. El último de estos cielos era el Mitnal, el infierno maya,
reino de Ah Puch, Señor de la Muerte.

Creían que, antes que el suyo, habían existido otros mundos destruidos todos por el diluvio. El mundo actual era sostenido por cuatro hermanos guardianes llamados Bacabés,localizados en los cuatro puntos cardinales.

En el centro del mundo maya se encontraba el Yaxché, o Ceiba Sagrada, cuyas ramas se elevaban a los cielos y cuyas raíces penetraban en el inframundo.

Lo que hoy conocemos como el CALENDARIO MAYA, propio de esta civilización, hay investigadores que sostienen que surge de la cultura Olmeca. Las similitudes con el calendario Mexica ofrece evidencias de que en toda Mesoamérica se utilizó el mismo sistema calendárico.

Los mayas tomaban los acontecimientos presentes como señales de los dioses, lo que les permitía vislumbrar el futuro. Por eso era tan importante conocer el movimiento del sol, las estrellas, la luna y los astros como la Tierra y Venus. En función de sus movimientos es que tuvieron la genialidad de hacer el calendario maya.

Inclusive la manera de contar de los mayas está relacionada con el tiempo, pues utilizan un sistema vigesimal en lugar de uno decimal, lo que, sorprendentemente, ofrece mayor precisión.

De acuerdo con el sistema vigesimal, el número 25 arábigo, se representa de la siguiente manera en las posiciones mayas: 0.0.0.1.5

Al igual que el sistema decimal, las unidades van a la derecha, y cada posición a la izquierda equivale al múltiplo de 10. (25) En el sistema maya es igual, pero cada posición equivale a múltiplo de 20. (0.0.0.1.5) 25 = 0.0.0.1.5

CALENDARIO MAYA

Tres cuentas del tiempo, diferentes y complementarias:

1. Tzolk’in o Bucxok:
calendario sagrado de 260 días

2. Haab:
calendario civil de 365 días

3. 20 Ahau:
CUENTA LARGA, combinación de Tzolk’in y Haab de 1’872,000 días

1 Tzolk´in (calendario sagrado)
= 260 kines (días)
= 20 uinales (meses) de 13 guarismos (numerales)

1 Haab (calendario civil)
= 365 kines
= [18 uinales de 20 kines = 1 tun de 360 kines] + 5 Uayeb (días nefastos fuera del registro cronológico, pero fechados como días)

RUEDA CALENDARICA

= siglo maya
= 52 Haab
= 73 Tzolk’in
= 1,460 uinales
= 18,980 kines

En el calendario maya puede advertirse la concepción circular del mundo, pues su
estructura se repite cada 52 años, lo que constituye un ciclo (o siglo). La concepción cíclica del tiempo conlleva la idea de que el futuro ya ha pasado, y el pasado está por venir, así como la existencia de una serie infinita de mundos.

En la Rueda Calendárica de cada persona, cada 18,980 kins (días) coinciden las 3 ruedas: Tzolk’in, Uinal, Haab. La sincronía se manifestaba en un día especial que sin lugar a dudas es un día favorable, y es tan bueno, que aniquila todas las cosas “malas” que hayan ocurrido en el ciclo previo, cubriéndolas con la luz de ese preciso día, para estar en condiciones de renacer a un nuevo ciclo, y es cuando se muestra la deidad particular que corresponde a cada individuo, con un mensaje personal de renovación, justo al momento de sincronizarse las tres ruedas, al llegar a los
73 Tzolk’in (años sagrados) y
52 Haab (años civiles), equivalentes a nuestros
52 años gregorianos.

Cuando una persona cumplía 52 años llegaba a la plenitud de la vida, pues rebasaba la expectativa de vida de la época del México antiguo. Cada 52 años terminaba un ciclo de vida, un siglo maya.

En una ceremonia llamada FUEGO NUEVO realizada en un Temazcal se extinguían sus desalientos y renacía junto con la nueva llama de esperanza.

Gira rueda de ruedas
empápame de la luz
creadora de la vida;
de la luz que devora la sombras
y que encarna el renacimiento
de un nuevo florecer en el tiempo. 

© Guadalupe Meré Alcocer
Septiembre 2012

El 21 de diciembre de 2012 de nuestro actual calendario gregoriano, el sistema calendárico maya conocido como CUENTA LARGA retornará al cero para reiniciar su ciclo de 1’872,000 días (5,125,36 años).

El solsticio de invierno se mueve lentamente hacia el corazón de la galaxia. El 21 de diciembre de 2012 se transformará el mundo al atravesar el sol la “Gran Grieta”, fragmento de la vía láctea que los mayas consideraban la Matriz de la Creación.

Antony f. Aveni
Arqueología Mexicana
mayo-junio 2010

Textos extraídos de Wikipedia y de otros sitios de internet, así como dela revista Arqueología Mexicana, may-jun 2010
Imágenes de libre acceso extraídas de internet con reconocimiento a sus autores
Música: Columa del Cielo © Tribu
Investigación y recopilación de Textos: Guadalupe Meré Alcocer
Concepto general y montaje gráfico original © Carlos Rangel
carlitosrangel@hotmail.com
Se agradece respetarlo sin alteración
Santiago de Querétaro, México, septiembre 2012
otras producciones del editor:
www.slideshare.net/carlitosrangel/presentations

iThings

Apple has been ordered to pay damages to rival Samsung Electronics by a court in the Netherlands.

The court said that Apple had infringed a patent held by Samsung relating to the way phones and tablet PCs connect to the internet.

Apple, which recently became the world’s most valuable firm, has been facing various legal issues.

In a separate case, it was fined $2.3m (£1.5m) in Australia for its claims on 4G capabilities of the iPad.

And it is still not clear how much it may have to pay to Samsung in damages.

The Dutch court did not specify any amount, but the damages will be calculated based on sales of Apple’s iPhone and iPad in the Netherlands.

“Samsung welcomes the court’s ruling, which reaffirmed Apple’s free-riding of our technological innovation,” the South Korean manufacturer said in an emailed statement to the BBC.

“In accordance with the ruling, we will seek adequate compensation for the damages Apple and its products have caused.”

Samsung had claimed that Apple had infringed four of its patents. However, the Dutch court said that only one of those had been breached.

Aritmética mexica

México a través de los siglos. Volumen I

CAPÍTULO VI

Escritura jeroglífica. — Diversas clases de jeroglíficos. — Jeroglíficos primitivos de los nahoas. — Aritmética. — Sistema decimal hindú.— Su origen. — Sistema romano. — Sistema griego. — Sistema duodecimal.— Sistema chino —Sistema nahoa.- Explicación de Gama y Orozco y Berra. — Nuestro sistema.— Formación de los cuatro números simples.— Primera serie de cinco. — Segunda serie.— Tercera serie. — Serie perfecta ó Ce/ií/)o/íMai/í— Comparación de los sistemas hindú y nahoa. —Último término nahoa. — Números simbólicos.— Series progresivas y números intermedios.— Mayor cantidad a que podía llegar su cuenta.- Representación jeroglífica de los números.

Si los nahoas propiamente no tuvieron escritura jeroglífica, y á eso atribuyen con razón los cronistas su falta de anales, debemos, sin embargo, buscar en sus pinturas el origen de la que después formó su raza; pues ya hemos visto que en el Nuevo México tenían figuras de deidades en las estufas y que en la región tolteca se encontraron además otros signos al parecer cronológicos y copias de armas y hombres guerreando.

Como quiera que la escritura de esa raza, aun cuando llegó á su mayor desarrollo, tuvo siempre un carácter muy propio y que la distingue claramente de los otros jeroglíficos que usaron los diversos pueblos de la tierra, vale la pena de que fijemos desde ahora sus principios esenciales.

No empezaron los pueblos desde luego por tener un alfabeto, es decir, una cierta cantidad de signos fonéticos conque expresar el sonido de todas las palabras: llegar á esto fué alcanzar uno de los mayores adelantos del progreso humano. Lo primero que debió ocurrir al hombre, y en efecto así pasó, fué pintar tal como lo veía el mismo objeto que quería representar. Supongamos que quería significar un conejo, pintaba la figura de un conejo: cualquiera otro que lo veía decía inmediatamente conejo; y así se alcanzaba el fijar el sonido de esta palabra conejo. Esta escritura tuvo que ser la primera y se llama figurativa: consiste en representar el nombre con la figura del objeto mismo.

Desde luego se comprende que tal sistema era muy imperfecto: primero, porque hay palabras que corresponden á objetos que no tienen figura material, como la voz, el canto, el aire, etc.; segundo, porque hay muchas que significan objetos con figura material, pero que ésta es imposible de pintarse exactamente tal cual es, como el cielo, el mar, una batalla, una peste, etc.; tercero, porque otras corresponden á ideas y no á objetos, y por último, porque aun aquellas que pueden materialmente figurarse, daban en ocasiones un trabajo muy grande y que exigía simplificarse. Para fijar la nomenclatura de las diversas maneras de escribir que de tales consideraciones nacieron, solamente tendremos en cuenta el desarrollo que alcanzaron los jeroglíficos de la raza nahoa.

Ya tenemos la representación exacta del objeto, que es el jeroglifico figurativo. En las figuras complicadas principalmente, natural fué que el pintor, para ahorrarse trabajo, procurase fijarlas con sus líneas principales solamente , lo que simplificándose poco á poco daba lugar á nuevas figuras fáciles y sencillas que ya no eran las primitivas, pero que daban idea de ellas y expresaban de la misma manera las palabras correspondientes á los objetos que aquéllas materialmente copiaban. A estos nuevos signos, como no representan la figura sino que solamente nos dan idea de ella, se les llaman jeroglíficos ideográficos. Tales son los caracteres chinos y los mayas: en la pintura nahoa puede decirse que no se usaron. Lo que sí fué costumbre para simplificar la escritura, fué presentar el todo por la parte o por algún accidente: así, para significar un tigre, se ponía solamente la cabeza; para expresar una batalla se pintaba únicamente á dos hombres luchando, y si de la victoria se trataba, ó el vencedor tenía del cabello al vencido ó se figuraba el incendio del teocalli cuando se anotaba la toma de un pueblo. Ciertamente que esta clase de pinturas tienen más de figurativas que de ideográficas; son, á lo más, simplificaciones figuradas del asunto que representan; por lo que las llamaremos
jeroglifieos figurativo-ideográfieos .

Hay objetos que materialmente no se pueden pintar aun cuando tengan forma material, como el firmamento, la noche, el día, el crepúsculo; entonces se usaba de figuras materiales que con ellos tenían relación : así, para significar el crepúsculo, se pintaba un cielo mitad azul y mitad estrellado. Estos jeroglíficos tienen algo de figurativos y más de ideográficos, por lo que los designaremos con el nombre de ideográfico-figurativos.

Vienen luego los objetos inmateriales y las ideas que solamente por símbolos se pueden expresar, como el aire, el movimiento, la luz, la grandeza, la belleza, y esto da origen al jeroglifico simbólico. Pero generalmente el simbolismo se une á un objeto material como la representación de los dioses, y nace entonces el jeroglífico figurativo-simbólico. Del fonético, último adelanto de la civilización nahoa, trataremos á su tiempo.

Haremos, pues, la siguiente clasificación de los jeroglíficos; 1. figurativos; 2. figuratico-ideográficos; 3. ideográfico-figurativos; 4. simbólicos, y 5. figuratito-simbólicos.

¿A cuáles de estas clases pertenecieron las pinturas de los primitivos nahoas? Las pinturas de sus dioses, aunque seres imaginarios, eran de personas humanas con atributos especiales que no pueden llamarse símbolos: constituían, pues, verdaderos jeroglíficos figurativos. Es de notarse que estas figuras tuvieron que ser muy imperfectas en un principio como obra de un pueblo primitivo; y sin embargo de que los posteriores de la misma civilización adelantaron mucho en las artes, se conservó siempre respetuosamente el tipo primordial. En cuanto á los signos cronográficos de los nahoas representaban objetos materiales; de manera que también eran figurativos, pues sólo hay dos simbólicos y dos ideográficos. Podemos, pues, decir que la escritura nahoa era figurativa , y que solamente dejaba de serlo en aquellas cosas de necesaria representación que no tenían figura propia, como los numerales.

Esto nos trae á la aritmética, una de las primeras necesidades de un pueblo anterior á la misma escritura. Materia es ésta que compararemos, al estudiarla, con la de los sistemas principales del Viejo Mundo para que se vea cuan original y autóctona fué la civilización nahoa.

Si estudiamos la numeración de los pueblos antiguos unidos á los hindús por genealogía reconocida ó que de ellos la recibieron, encontramos más próximamente á nosotros el sistema arábigo de las diez cifras:

O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

El O no tiene en sí ningún valor, pero puesto una vez á la derecha de los otros números da las decenas; puesto dos veces, las centenas, y así sucesivamente todos los números posibles, expresando cuantas cantidades se quiera y puedan imaginarse. Éste es el sistema que usa la civilización actual , y aunque se llama arábigo, porque los árabes encontraron la numeración escrita que hoy tenemos, lo aprendieron de la India. Max Müller afirma que los aryas tenían ya el sistema decimal de numeración hasta cien, pero que no conocían el mil.

Este sistema trae su origen de los cinco dedos de la mano ; mas tomando siempre en cuenta las dos manos que dan el número 10. Repitiendo esta cifra, según el número de dedos de las dos manos, se van formando las decenas hasta 100; haciendo igual operación con esta cifra , tendremos las centenas , y así sucesivamente todas las cantidades; pero obsérvese que siempre se necesita de todos los dedos de las dos manos.

Los romanos usaron las siete letras para sus números:

I, uno; V, cinco; X, diez; L, cincuenta; C, cien; D, quinientos; M, mil. El sistema de los diez dedos de las dos manos existía en Roma; pero dividido en cinco unidades por cada mano, V es cinco y X diez; L es cincuenta y C es cien ; D es quinientos y M es mil. Primero entra una mano en la formación numérica y después la otra; pero en definitiva entran las dos y resulta un sistema decimal.

Los griegos tenían en el principio un sistema muy sencillo, basado en seis letras:

I, uno; II, cinco; á; diez; lí, ciento; X, mil; M, diez mil. Después introdujeron cifras para los números 50, 500, 5.000 y 50.000.

Es el mismo sistema de los romanos: los cinco dedos de una mano primero y después los cinco dedos de la otra; pero siempre los diez dedos de las dos manos como base definitiva del sistema.

Podemos, pues, decir que los hindús, los pueblos de su genealogía y los que de ellos aprendieron, han usado el sistema decimal: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000; etc.

Tenemos otro sistema, el duodecimal: éste tiene por base la operación de contar que con el dedo pulgar hacemos en los otros cuatro dedos, repitiéndola en las tres falanges de cada uno de ellos.

Nos da el resultado siguiente :

Primera falange superior de los cuatro dedos: 1, 2, 3, 4.

Segunda falange media de los cuatro dedos: 5, 6, 7, 8.

Tercera falange inferior de los cuatro dedos: 9, 10, 11, 12.

No tiene este sistema numeración propia; pero su división exacta por 2, 3 y 4, hace más fáciles los cálculos, por lo que ha sido adoptado en el uso de los pueblos : la línea tiene doce puntos , la pulgada doce líneas, el pié doce pulgadas.

El sistema binario del Je-Kin de los chinos consiste en la combinación de seis líneas: unas divididas que expresan O y otras completas que representan 1.

Así se forman sesenta y tres figuras, con las cuales dice Leibnitz que se pueden obtener todos los números enteros posibles. Pero los chinos y thibetanos, como los hindús, han usado de tiempo inmemorial el sencillo método de las diez unidades, y después lo han conservado los pueblos que lo recibieron de la India, como los árabes y los indo-europeos.

Veamos cuál era el sistema numeral de los nahoas; notando que la formación de los números es una de las primeras manifestaciones externas de un pueblo, anterior á la escritura, y una de sus primeras imperiosas necesidades para el trato de la vida, y por lo mismo una prueba segura de origen.

El señor Orozco y Berra al tratar de esta enumeración dice, siguiendo á Gama, que la formación de los números comenzó entre los nahoas por los cinco dedos de una mano: computados los otros cinco, se tuvo el número diez, y contando los de los pies y las manos el número veinte.

Parece comprobarlo el hecho de que los cuatro primeros números tienen nombres simples que les son propios.

Ce ó cem 1
ome 2
yei ó ei 3
nahui 4

El número 5 tiene ya nombre compuesto : macuilli. Según Gama, este nombre viene del verbo macueloa, formado de maitl, que es la mano, y del verbo simple cueloa, que significa doblegar; lo que parece demostrar que en su origen distinguían cada unidad doblando un dedo hasta completar los cinco cerrando una mano.

El señor Orozco, considerando los nombres referentes á la mano, encuentra mapilli, dedo de la mano, palabra compuesta de maitl, mano, y de pilli, niño ó hijo: así figuradamente mapilli quiere decir niños, hijos, apéndices de la mano. Encuentra también que xopilli, dedos del pié, tiene el mismo sentido; así como macpalli, palma de la mano. Macuilli se formaría entonces de maitl, del verbo cui, tomar, y de pilli ó simplemente lli, por los apéndices ó dedos; haciendo el compuesto ma-cui-lli, los dedos tomados con la mano, el puño cerrado. Opina, pues, el señor Orozco que la cuenta de las primeras unidades se fué practicando por medio de doblar los dedos de la mano hasta que al llegar á cinco se formó el puño.

Del 6 al 9 las palabras son compuestas. En sentir de Gama, chicoace ó chicuace se deriva del adverbio chico, que significa á mi lado, y la proposición huan, que es junto de otro; y así todo el vocablo chicohuance ó chicoace por síncopa, querría decir uno al lado, junto de los otros. Mas el señor Orozco dice que chico tiene á veces la significación de mitad, como en las palabras chicocua, chicocaiacua,chicocuatic, medio comido; que la partícula a cuenta entre sus significados el de así como; de manera que chico-a da á entender la mitad de las manos, una mano. Los compuestos chicuace, chicóme, chicuei y chíconahui significarían entonces una mano más uno, más dos, más tres y más cuatro, ó sea 6, 7, 8 y 9.

Matlactli, 10, no está formado por aglomeración: según el señor Orozco, sus radicales no ofrecen duda, pues maitl y tlactli dan el cuerpo del hombre desde la cinta arriba, es decir, las manos de la parte superior del hombre. Si macuilli era una mano cerrada, mactlactli será las dos manos cerradas. Del 11 al 14 sigue la aglomeración añadiendo á matlactli los cuatro dígitos fundamentales por medio de la partícula on, ya sea en el sentido de más , ya , como quiere Molina , por vía ó manera de ornato y buen sentido. Así tendremos: matlactlionce 11, matlactliomome 12, mactlactliomei 13 y matlactlionnahui 14.

Caxtolli, caxtulli, 15, dice el señor Orozco que aparece como radical y que no atina cómo pueda ser desatado ni encuentra explicación en los autores. Con este nombre, la ligatura on y los digitales, se forman los números del 16 al 19 de la manera siguiente:
caxtollionce 16, caxtolliomome 17, caxtolliomei 18 y caxtollionnahui 19. El 20 es cempohualli , que quiere decir una cuenta, y que pudo componerse, según el señor Orozco, de cem, una; del verbo poa, contar, y de pilli ó lli por los dedos: cem-poa-lli , una cuenta de los dedos. Veinte, agrega el señor Orozco, es por excelencia el número mexicano; es el yo, el individuo, compuesto de cuatro partes , los pies y las manos, cada uno con cinco apéndices ó dedos.

Hemos querido citar las respetables opiniones de Gama y Orozco para que se conozca, precisamente por qué es diverso nuestro sistema y como nuevo atrevido.

No hay duda de que el 20 es el número nahoa por excelencia; pero no se formó como han creído Gama y el señor Orozco.

5 dedos de una mano.
5 dedos de la otra mano.
5 dedos de un pié.
5 dedos del otro pié.
20=5X4

Entre los apuntes manuscritos del señor Ramírez, recordamos uno en que decía que los nahoas formaren el número 5 con los cuatro dedos unidos de la mano sumados con el pulgar, así:
4 + l=5.

No decía más el apunte ni daba otra explicación; pero como para nosotros el señor Ramírez es la primera autoridad en estos asuntos y vemos con respeto aun una simple nota de su mano puesta al margen de cualquier libro, tuvimos desde luego por cierto lo que decía y nos dimos á buscar la explicación. Veamos cuál fué el resultado.

En el sistema hindú el número principal es el 10, que se forma de 5 + 5: allí el número 5 es esencial; pero en el sistema nahoa el número esencial es el 4, pues el 20 se forma de 5X4, como el 5 se formó de 4 + l. Si se observan los nombres de los números, encontraremos que sólo los cuatro primeros son simples, ce, ome, yei y nahui; ya el quinto tiene un nombre compuesto, macuilli: los cuatro números siguientes, 6, 7, 8 y 9, toman por base de sus nombres los simples de los cuatro primeros, chicuce, chicóme, chicuei y chiconahui; pero el segundo quinto, el 10, tiene nombre compuesto diferentemente, matlactli: los cuatro que siguen, 11, 12, 13 y 14, reciben también como base de su composición los cuatro simples primeros, matlactliónce , matlactliomome, matlactliomei y matlactlionnahui; y volvemos á encontrar nombre especial para el tercer quinto, el 15, que se llama caxtolli: repítase la combinación de los nombres simples en los cuatro números siguientes, 16, 17, 18 y 19, caxtollionce, caxtolliomome , caxtolliomei y caxtollionnahui: y finalmente para el último quinto, el 20, vuelve á encontrarse un nombre formado de elementos propios, cempohtialli. Se ve, pues, que los nahoas quisieron distinguir los cuatro primeros números del quinto; no han tomado el número 5 por base , sino como resultado de 4+1.

Si esto es verdad , y para nosotros todos los datos aducidos lo demuestran , la consecuencia lógica es que la primera serie de veinte números debía formarse con sólo esos dos elementos, y por lo mismo con una sola mano.

Siempre habíamos rechazado la idea de que se tomasen en cuenta los dedos de los pies , pues si el origen de la enumeración fué la costumbre primitiva de hacer las cuentas con los dedos de las manos, costumbre que tienen todavía los niños y los indoctos , claro es que no debían tomarse en consideración los dedos de los pies, pues á nadie le ha ocurrido írselos tentando para hacer una cuenta. Ahora bien, valiéndose nada más de las manos, como es natural, no puede haber más que dos métodos de hacer las cuentas: el primero, contar con una mano los dedos de la otra, lo que da el número 5; y después contar los” dedos de ésta con la otra mano, lo que también produce un 5 , y los dos cincos unidos el número 10: este fué el procedimiento del sistema decimal. El segundo método, origen del sistema duodecimal como hemos visto, consiste en no servirse más que de una mano, valiéndose del pulgar para contar sobre los otros cuatro dedos; pero haciendo la cuenta por falanges. El procedimiento nahoa tuvo que ser semejante, pues si se hubiera valido de las dos manos habría tenido por resultado el 10; mas se debió usar una combinación distinta de la cuenta por falanges que da el 12. La simple cuenta de los dedos produce nada más el 4, y los nahoas tenían por número principal el 20. Y sin embargo, formaron su enumeración con una sola mano, formando el pulgar de persona que cuenta. ¿Cómo? Nos va á dar la contestación la etimología de sus números.

Nombres simples: 1 ce, 2 ome, 3 yei, 4 nahui. Dice el señor Orozco que nadie ha dado razón del origen de estos nombres.

Los hombres debieron poner nombre primeramente á las cosas más esenciales para la vida , y sin duda que las principales de estas cosas fueron sus alimentos : éstos, antes de que inventaran los instrumentos de caza y que se dedicaran á hacer producir la tierra por la agricultura, debieron ser los frutos naturales de los árboles.

Más tarde, cuando sus necesidades y las primeras operaciones de comercio les obligaron á inventar la numeración, al mismo tiempo que la formaban con la cuenta de los dedos, fueron poniendo nombre á los cuatro dedos que iba designando el pulgar, y debieron sacar estos nombres de las pocas palabras que entonces tenían, dándoles las formas más simples, como cosa que debían usar y repetir mucho. Pues bien: refiriéndonos á las frutas, primer alimento de los hombres, encontramos que los nahoas llamaban ceceltic á la cosa fresca y verde, omacic á la cosa madura, yectli á la cosa buena, y nahuatile á la persona ó cosa regular. Los nombres de los dedos entre nosotros vienen de su tamaño ú objeto : el primero ó más pequeño se llama meñique ; el segundo anular, en el que se pone el anillo; el tercero, mayor, porque es el más grande; y el cuarto, índice, porque nos sirve para señalar. Así los nahoas, al primer número que se relacionaba con el primer dedo, el más pequeño, le pusieron ce, de ceceltic, cosa verde, porque la fruta verde es la más pequeña , y es la primera fase, digámoslo así, de su vida. Cuando la fruta madura y está en su segunda época, se llama omacic, y es más grande de tamaño: por eso, refiriéndose al segundo dedo, que es más grande que el primero, llamóse ome al número 2. El dedo de en medio es el mayor y le corresponde el número 3: así la fruta ya buena ha alcanzado su mayor tamaño, y está en el tercero y último período de su desarrollo, y por esto el número 3 es yei, de yectli, cosa buena. El cuarto dedo no es tan grande como el tercero, es de tamaño regular; y por lo mismo el número 4 á que él se refiere se llama nahui, de la voz nahuatile, cosa regular. Podemos, pues, decir que los nombres simples de los cuatro primeros números vienen del tamaño respectivo de los cuatro dedos juntos de la mano, y que el pulgar formó con ellos lo primera cuenta, comenzando por el más pequeño.

Si los dedos se hubieran ido cerrando sobre la mano para formar el puño, y significara esto macuilli ó 5, éste se representaría en los jeroglíficos con una mano cerrada, y por el contrario, se expresa con una mano abierta. Observando los nombres de los números 5, 10, 15 y 20, veremos que todos terminan en tli, desinencia que significaba persona y que puede traducirse: el que ó quien. Refiriéndonos al número 5, el tli es el pulgar, el que ha hecho la cuenta de los otros cuatro dedos.

Maitl significa mano; cuilia tomar algo á otro; tli, el que; ma-cuil-li, el que toma á otro la mano. Dé el lector la mano á cualquier persona, y observará que con el pulgar le toma y oprime la suya. Podemos, pues, decir definitivamente que los cinco primeros números de los nahoas se formaron de los cincos dedos de la mano en dos partes ; la primera de los cuatro dedos juntos, y la segunda del pulgar.

PRIMERA PARTE

Ce, número 1, el dedo más chico.
Ome, número 2, el dedo mayor que el primero.
Yei, número 3, el dedo mayor de todos.
Nahui, número 4, el dedo regular.

SEGUNDA PARTE

Macuilli, número 5, el dedo que toma la mano de otro.

Estas dos partes dan con la mano abierta la fórmula primera de la numeración nahoa: 4+1. El pulgar cuenta los números 1, 2, 3 y 4, tocando los otros dedos, y separándose después de ellos, forma él mismo el número 5.

Para los números 6, 7, 8 y 9, el pulgar vuelve á funcionar como persona agente, doblando uno á uno los otros cuatro dedos de la mano. En efecto, el número 6, chicuace, es palabra compuesta de chico, aviesamente, val, hacia acá, y el número 1 ce: es decir, traer hacia sí el número 1, ó el dedo pequeño al revés, ó doblar sobre la mano el dedo pequeño. Bien indica el movimiento el adverbio aviesamente que viene del latín adversus, en sentido opuesto, cerrando el dedo pequeño que estaba abierto. Doblando los otros tres dedos se forman chicóme, 7, chicuei, 8 y chiconahui, 9. Cerrando los cuatro dedos y poniendo encima el pulgar para hacer el puño, queda la mano reducida á la mitad de su altura y entonces el número 10 se llama la mitad de la mano , matlactli, de ma-itl, mano, tlac-ol, la mitad, y tli, el que: el que hace la mitad de la mano doblándolos otros dedos.

Si después de haber bajado los dedos, el pulgar los va levantando uno á uno, nos da los nombres de los números 11, 12, 13, 14: matlactlionce, matlactliomome, matlactliomei y matlactlionnahui. Aquí las voces se componen del puño ó media mano, matlactli, de los números de los dedos y de la partícula on, que significa alejar, separar del lugar. Así matlactlionce quiere decir uno separado de la media mano ó puño; matlactliomome , dos separados del puño; matlactliomei, tres separados del puño; y matlactlionnahui, los cuatro dedos separados del puño: lo que nos da los números 11, 12, 13, y 14. El número 15, es el pulgar que los ha separado, y esto quiere decir caxtolli, cuyo significado, según el señor Orozco, no atinan ni explican los autores. Se forma la palabra del verbo cax-aua, aflojar, tol-oa, abajar ó inclinar, y el sufijo tli, el que: el que añojo los dedos abajados ó doblados.

Tenemos ya tres posiciones de la mano : para los primeros cinco números en su posición natural enteramente abierta; para los segundos cinco números formando puño, enteramente cerrada; y para los terceros cinco números con los dedos aflojados á medio abrir, podríamos decir la mano en forma de garra. El pulgar hace los números 16, 17, 18 y 19, separando los dedos de la garra y trayéndolos hacia sí, juntándolos; y por eso al separarlos de la situación que tenían , se llaman los números caxtollionce, caxtolliomome, caxtolliomei y caxtollionnahui. Ya juntos los dedos por sus yemas, nos da el pulgar el número 20 , que se llama  cempohualli  ó una cuenta de la unidad cem, el verbo po-a, contar, hual, hacia acá, y el sufijo ili: el que hizo una cuenta juntando los dedos. Así con una sola mano, en las cuatro posiciones que puede tener, se formaron los 20 números de la serie perfecta de los nahoas.

1, 2, 3, 4 y 5. — La mano abierta.
6, 7, 8, 9 y 10. — La mano cerrada.

11, 12, 13, 14 y 15. — La garra abierta.
16, 17, 18, 19 y 20. — La garra cerrada.

Si para convencernos de lo original y autóctono de la numeración nahoa, la comparamos con la hindú, base de las numeraciones asiáticas y europeas, obtendremos las siguientes diferencias:

  1. Que los hindús formaron su numeración valiéndose de los dedos de las dos manos, y los nahoas usando nada más de los dedos de una mano.
  2. Que los hindús tuvieron como elemento de su numeración la fórmula 5+5, y los nahoas la fórmula 4+1.
  3. Que la serie perfecta de los hindús era de 1 á 10, y la de los nahoas de 1 á 20.
  4. Que en su desarrollo posterior , el primer término de la serie progresiva de los hindús fué el 10 sirviendo constantemente de multiplicador, mientras que entre los nahoas fué el 20.

Pero así como entre los aryas no tuvo su completo desarrollo la serie progresiva y el último término fué el 100, los nahoas tuvieron por último término suyo el 80, según datos jeroglíficos muy precisos que hemos examinado, por más que los pueblos que de ellos descendieron, desarrollaran ampliamente la serie progresiva tomando por multiplicador el número 20. Los nahoas tuvieron por primer número de su serie el 4: hemos visto que del 4+1 hicieron el 5 ; que del 5X4 formaron el 20; y finalmente del 20X4 tuvieron el 80.

El mismo 4 con el 1 les sirvió para formar sus números simbólicos, cuya aplicación veremos al tratar del calendario. Nos limitaremos aquí á anunciar cuáles fueron los hindús y los nahoas. Los números simbólicos, como unidos á las ideas religiosas y á las preocupaciones de los pueblos, dan idea segura de la personalidad de una raza, y por esto encontramos los mismos en la India, Grecia y Roma. Son cinco: el 3, tríade, el número perfecto; el 5; el 7, siete son los planetas, los días de la semana, las hiadas, etc.; el 9, emblema de la muerte ó sucesión de la vida; y el 10 drcada, fundamento de las ciencias. Según nuestras observaciones creemos que se formaron sumando los primeros números sucesivamente de dos en dos: 1+2=3; 2+3=5; 3+4=7; 4+5=9. El número 10 se formó de las cuatro primeras unidades: 1+2+3+4=10.

Los nahoas formaron sus números misteriosos y simbólicos con la sola combinación del 1 y el 4.


1+1=2.—
El Ometecuhtli, el Omeyócan, etc.

4. —
Los cuatro astros, los cuatro soles, los cuatro signos iniciales, etc.

1+4=5. —
Los cinco días del tianqniztli , los cinco soles mexica, el período de cinco ciclos, etc.

1+4+4=9. —
Los acompañados, los nueve meses que hacen el medio año, etc.

1+4+4 + 4=13. —
Los días de la triadecatéride, los años del tlalpilli, etc.

1+4=5X4=20. —
Los números de la serie perfecta, el número inicial de la serie progresiva, los días del mes, etc.

Resulta, pues, la siguiente tabla:

NÚMEROS SIMBÓLICOS

Hindús.— 3, 5, 7, 9, 10.

Nahoas.— 2, 4, 9, 13, 20.

Hemos dicho que el último término de los nahoas fué el número 80; veamos cómo se formaban las cifras intermedias. Escribamos continuadamente, para mayor claridad, la primera serie de 20.

  1. Ce.
  2. Ome.
  3. Yei.
  4. Nahui.
  5. Macuilli.
  6. Chicuace.
  7. Chicóme.
  8. Chicuei.
  9. Chiconahui.
  10. Matlactli..
  11. Matlactlionce.
  12. Matlactliomome. 
  13. Matlactliomei.
  14. Matlactlionnahui.
  15. Caxtolli.
  16. Caxtollionce.
  17. Caxtolliomome. 
  18. Caxtolliomei. 
  19. Caxtollionnahui. 
  20. Cempohualli.

Del 20 al 80, para formar las series progresivas y los números intermedios, se sigue una regla sencilla:
anteponiendo un numeral simple á pohualli, le sirve de multiplicador y hace serie, y posponiendo á una serie
los numerales de la primera y uniéndolos con la partícula, on, se suman con ella. Así tendremos las cuatro
series:

20. — Cempohualli.
40.—Ompohualli, dos veintes.
60. — Yeipohualli, tres veintes.
80. — Nauhpohualli, cuatro veintes.

Formando ahora todos los números de la segunda, tercera y cuarta serie, pues ya tenemos los de la
primera, nos darán:

Segunda serie

21.Cempohuallionce

22. Cempohualliomome

23. Cempohualliomei

24. Cempohuallionnahui

25. Cempohuallionmaculli

26. Cempohuallionchicaue

27. Cempohuallionchicome

28. Cempohuallionchicuei

29. Cempahuallionchiconahui

30. Cempohuallionmatlactli

31. Cempohuallionmatlactlionce

32. Cempohuallionmatlactliomome

33. Cempohuallionmatlactliomei

34. Cempohuallionmatlactlionnahui

35. Cempohuallioncoxtolli

36.Cempohuallioncoxtollionce.

37.Cempohuallioncoxtolliomome

38.Cempohuallioncoxtolliomei.

39. Cempohuallioncoxtollionnahui

40. Ompohualli

Haciendo á ompohualli las mismas adiciones hechas á cempohualli , obtendremos los números hasta el 59.
El 60 es yeipohualli ó tres veces 20. Yeipohualli, con las adiciones sucesivas usadas en las dos series
anteriores, forma hasta el 79. El 80 es nauhpohualli ó cuatro veces veinte. Tal es el nombre que tiene en
la enumeración mexica, en que la serie progresiva alcanzó mayor extensión; de modo que en ella quedó
como número secundario. Pero entre los nahoas fué el número principal y fin de la serie y es evidente que
debió tener nombre propio. Aun cuando de esta cifra, como principal y última de la serie nahoa, no hablan los
autores ni nos dan su nombre especial, por datos jeroglíficos irrecusables podemos decir que se llamaba
xíhuitl, voz que tiene los significados de año, hierba y turquesa.

Ya ahora podemos comprender hasta dónde llegaba la mayor cuenta de los nahoas. Anteponiendo sucesivamente todo á los números de las cuatro series al xihuitl, producían la multiplicación del número antepuesto por 80 y podían llegar hasta 80X80=6400; cifra suficiente para las necesidades de un pueblo
primitivo.

Fijada ya la numeración aritmética, estudiemos la representación jeroglifica de los números. Fué natural
que la división numeral determinara la representación escrita. Encontramos primero la unidad significada por
un punto, una raya ó un dedo. Se expresaba cualquiera cantidad con el número de puntos ó rayas correspondientes, ya pintándolos, labrándolos en los monumentos de piedra ó haciéndolos con un taladro. Por este método hemos visto en una piedra hasta el número 104, representado por ciento cuatro circulillos hechos con taladro.

En el códice Mendocino hay hasta el número 8 expresado con ocho dedos; pero generalmente no se usaba
de los puntos ó líneas sino para los números de 1 al 19; entonces, siguiendo la división numeral de cinco en
cinco, se marcaba la separación de los puntos en fracciones de á cinco. Esa regla era general, pero no absoluta , pues varias veces los puntos se dividían simétricamente por el buen parecer del dibujo.

Pero el número 5, como primer período de la serie de 20, debía tener representación propia; y ésta era
una mano abierta. Usóse poco, sin embargo, porque era más fácil poner los cinco puntos. Lo mismo sucedía
con el número 10, sin embargo de que tenía figura especial. Era ésta un cuadrado grande con un pequeño
dentro ó dos círculos concéntricos, ó más comúnmente un cuadrado puesto con uno de los ángulos hacia arriba y con los lados rectilíneos ó curvilíneos.

El número 20 sí tenía representación propia y muy usada: era una especie de pequeña bandera. Con ésta y
los puntos se usaba escribir todos los números hasta 80, repitiendo una bandera por cada 20 y un punto por cada unidad. Así para representar 72 ponían tres banderas y doce puntos.

Pero como el número 20 lo habían formado con cuatro períodos menores de á 5, dividieron la bandera en cuatro partes que cada una representaba 5 también. Si la bandera no tenía división significaba 20 siempre;
si la dejaban con tres partes blancas y una de color ó señalada como si estuviese separada del resto, expresaba el número 15, y si esta división era por mitad, daba el número 10. Esto simplificaba mucho la numeración escrita. Así el 72 se podía representar con tres banderas, una bandera dividida por mitad y dos puntos.

El número 80 tenía dos representaciones , que Humboldt y el señor Orozco confundieron con las del número 400, serie de época posterior que no conocieron ni usaron los nahoas. Es la primera una atadura de hierbas, xihuitl, que nos daría la voz xiuhmolpilli que, como veremos más adelante, correspondía también entre los nahoas al número 80. La cinta con grecas que tiene este signo recuerda la ornamentación nahoa.

Marcadas las tres cuartas partes de él. como en la bandera, se forma el número 60, y marcada solamente
la mitad el 40. La otra representación del 80 es una turquesa adornada de hierbas en la parte superior, dando ambos objetos la voz xiluñÜ: así se ve en las pinturas de los soles. En ellas bastan este signo y los puntos numerales para anotar claramente, como ya hemos visto, períodos que sumados dan más de tres mil años.

Fueron suficientes sin duda estos signos para las necesidades de los nahoas; y como un pueblo primitivo
debió usar los elementos más sencillos, podemos establecer como regla que los nahoas, para expresar una
cantidad cualquiera que no pasase de 6.400, que fué la cifra mayor á que llegaron, la dividían primero en
fracciones de á 80, poniendo tantos manojos ó turquesas como fracciones resultaban ; después dividían la fracción restante en nuevas fracciones de á 20, pintando tantas banderas como eran las nuevas fracciones, y el resto de fracción de á 20 lo marcaban con tantos puntos como unidades quedaban. Pondremos un ejemplo: 393 da primeramente cuatro fracciones de á 80, después tres de á 20 y un residuo de trece unidades; por lo tanto se escribía con cuatro turquesas, tres banderas y trece puntos.

La aritmética adelantó después , pero debemos reservar lo demás que á ella se relaciona para tratarlo en su debido lugar cuando nos ocupemos de épocas posteriores.